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相关试卷

1、某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表.

(1)、求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；

(2)、该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设 $Ω = [\bar{x} - s - 0.018, \bar{x} + s + 0.018)$ ，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元；
方案二：按每人个月薪水的3%收取.
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用.
参考数据： $\sqrt{174} \approx 13.2$ .

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2、设向量 $\vec{a} = (4 \cos α, \sin α), \vec{b} = (\sin β, 4 \cos β), \vec{c} = (\cos β, - 4 \sin β)$
（1）若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} - 2 \vec{c}$ 垂直，求 $\tan (α + β)$ 的值；
（2）求 $| \vec{b} + \vec{c} |$ 的最大值；
（3）若 $\tan α \tan β = 16$ ，求证： $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $\sin A = 2 \sin B \sin C$ ，则 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 的最大值为，此时内角A的值为

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4、将一枚质地均匀且四个面上分别标有1、2、3、4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用 $(x, y)$ 表示一个样本点，则满足条件“ $\frac{x}{y}$ 为整数”这一事件包含的基本事件的个数为．

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5、北京时间2022年9月30日，女篮世界杯半决赛，中国队61：59澳大利亚队，时隔28年再次在半决赛中战胜澳大利亚队挺进决赛．中国队在10名上场球员中，3人得分上双．韩旭拿下全场最高的19分，10投8中，得到11个篮板和5次盖帽；队长杨力维得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根据以上信息判断，下列说法中正确的是（）

A、中国队上场的10名球员存在都有得分的可能 B、中国队上场的10名球员得分的极差不可能为17分 C、中国队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数 D、3不可能是中国队上场的10名球员得分的众数

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6、某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）

A、应采用分层随机抽样抽取 B、应采用抽签法抽取 C、三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆 D、这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同

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7、设 $z$ 是非零复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z + |z| \in R$ ，则 $z \in R$ B、若 $z = |z|$ ，则 $z = \bar{z}$ C、若 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $\frac{z}{| z |} = i$ D、若 $\bar{z} = \frac{|z|}{z}$ ，则 $|z| = 1$

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8、材料一：已知三角形三边长分别为 $a, b, c$ ，则三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ .这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离的和等于常数(大于 $|F_{1} F_{2}|)$ 的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知 $△ A B C$ 中， $B C = 6, A B + A C = 10$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、6 B、10 C、12 D、20

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9、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2，则平面ABC与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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10、某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（）

A、 $P (C) = \frac{21}{50}$ B、事件A与事件 $B$ 相互独立 C、 $P (A B)$ 与 $P (C)$ 和为 $54 %$ D、事件A与事件B互斥

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11、要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：.
注：下面抽取了随机数表第1行至第5行.
03474373863696473661469863716233261680456011141095
97742467624281145720425332373227073607512451798973
16766227665650267107329079785313553858598897541410
12568599269696682731050372931557121014218826498176
55595635643854824622316243099006184432532383013030

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12、已知矩形 $A B C D$ 中， $|\overset{⃑}{A B}| = 4$ ， $|\overset{⃑}{A D}| = 2$ ， $\overset{⃑}{D M} = 3 \overset{⃑}{M C}$ ， $\overset{⃑}{B P} = \overset{⃑}{P C}$ ，则 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{A P} =$ （）

A、6 B、10 C、14 D、38

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13、某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： $97 ， 90, x ， 95 ， 92 ， 85 ， 87 ， 90 ， 94$ ，去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以 $x$ 表示，则 $x =$ （）

A、84 B、86 C、89 D、98

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14、下列说法正确的是

A、互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B、梯形的直观图可能是平行四边形 C、矩形的直观图可能是梯形 D、正方形的直观图可能是平行四边形

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15、在复平面内，复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i} + \frac{1 - i}{2}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 过点 $(1, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ ， $P$ ， $Q$ ， $R$ ， $S$ 分别是椭圆 $C$ 上不同的四点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $P Q$ 与直线 $R S$ 交于点 $(1, 1)$ ，且 $k_{P Q} + k_{R S} = 0$ ， $|P Q| = m |R S|$ ，求实数 $m$ 的最大值.

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17、将号码为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰放1个小球．

(1)、求1号球不在1号盒中的概率；

(2)、记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X，不同的个数为Y，求证： $E (X) E (Y) > E (X Y)$ ．

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18、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ， $A B = 3$ ， $B B_{1} = B_{1} C_{1} = C C_{1} = 2$ ， $B C = 4$ ．

(1)、求证： $A A_{1} ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求平面 $B_{1} B C C_{1}$ 与平面 $A_{1} A C C_{1}$ 夹角的余弦值．

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19、已知函数 $f (x) = ln x - \frac{x - 1}{x + 1}$

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线；

(2)、比较 $ln \frac{2023}{2024}$ 与 $- \frac{1}{4047}$ 的大小并说明理由.

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20、传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的 $.$ 这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为 $12 cm$ ，且以每秒 $1 cm$ 等速率缩短，而长度以每秒 $20 cm$ 等速率增长.已知神针的底面半径只能从 $12 cm$ 缩到 $4 cm$ ，且知在这段变形过程中，当底面半径为 $10 cm$ 时其体积最大，假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则体积的最小值为，此时金箍棒的底面半径为 $cm$ ．

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