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相关试卷

1、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 2 \sqrt{3}, B B_{1} = 2 \sqrt{5}$ ，则三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为（）

A、 $25 π$ B、 $29 π$ C、 $32 π$ D、 $36 π$

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2、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，下列命题中错误的是

A、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ ∥ $β$ B、若 $α$ ∥ $γ$ ， $β$ ∥ $γ$ ，则 $α$ ∥ $β$ C、若 $m \subset α, n \subset β, m$ ∥ $n$ ，则 $α$ ∥ $β$ D、若 $m, n$ 是异面直线， $m \subset α, n \subset β, m$ ∥ $β$ ， $n$ ∥ $α$ ，则 $α$ ∥ $β$

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3、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）
① $a$ 的值为0.005；
②估计成绩低于60分的有25人；
③估计这组数据的众数为75；
④估计这组数据的第85百分位数为86．

A、②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③

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4、设向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (λ, 1)$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ$ 的值等于（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{7}{4}$ C、2 D、 $\frac{7}{4}$

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5、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}, B = \{2, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、{2} B、{2，3，4} C、{1，2，3，4} D、{0，2，3，4}

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6、某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，答错的概率都为 $\frac{2}{3}$ ，且每次答对与否相互独立.记第 $n$ 次答题得分为 $X_{n}$ .

(1)、求 $p (X_{3} = 4)$ ；

(2)、求 $X_{n}$ （ $n \geq 2$ ）的分布列和期望；

(3)、在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第 $n$ 次得分刚好为 $n$ 时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第 $n$ 次得分刚好为 $2 n$ 时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.

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7、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的一个顶点为 $A (0, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设 $M (- 1, 0)$ ，直线 $x = n$ （ $n \in R$ 且 $n \neq - 1$ ）与 $E$ 交于不同的两点 $B$ ， $C$ ，若直线 $B M$ 与 $E$ 交于另一点 $D$ ，则直线 $C D$ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

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8、锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} b = 2 c \sin (A + \frac{π}{3})$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $\sqrt{7} a = 3 c$ ，求 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}$ 的值.

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9、已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线的斜率为1，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $a = 1$ ，证明：当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < x$ .

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10、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点.

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ，三棱锥 $C - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $D - A C_{1} - C$ 的余弦值.

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11、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ .过点 $F_{2}$ 的直线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $E$ 交于点 $A$ ，且 $\vec{F_{2} B} = - \frac{3}{2} \vec{F_{2} A}$ ，点 $F_{1}$ 在以 $A B$ 为直径的圆上，则 $E$ 的渐近线方程为.

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12、已知数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是首项为 $\frac{2}{3}$ ，公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} < 100$ ，则 $n$ 的最大值为.

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13、已知圆锥的底面直径为 $2 \sqrt{2}$ ，母线长为2，则此圆锥的体积是.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{a}{3} x^{3} - a x^{2} - 3 a x + b$ ，其中实数 $a$ ， $b \in R$ ，且 $a > 0$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 没有极值点 B、当 $f (x)$ 有且仅有3个零点时， $\frac{b}{a} \in (- \frac{5}{3}, 9)$ C、当 $b = \frac{11}{3} a$ 时， $f (x + 1)$ 为奇函数 D、当 $m \in (\frac{a}{3} + b, + \infty)$ 时，过点 $A (0, m)$ 作曲线 $f (x)$ 的切线有且只有1条

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15、掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为 $m$ ， $n$ ，记事件 $A =$ “ $m + n > 9$ ”， $B =$ “ $m n$ 为偶数”， $C =$ “ $m + n$ 为奇数”，则（）

A、 $p (A) = \frac{1}{6}$ B、 $p (A |B) = \frac{1}{5}$ C、 $p (A |C) = \frac{1}{9}$ D、 $B$ 与 $C$ 互斥

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ D、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量相等

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17、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{B P} = λ \vec{B B_{1}}$ ， $\vec{B Q} = μ \vec{B C_{1}}$ ， $λ$ ， $μ \in (0, 1)$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $λ = μ$ 时， $B_{1} C_{1} / /$ 平面 $D_{1} P Q$ B、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，四面体 $A P Q D_{1}$ 的体积为定值 C、 $μ = \frac{1}{2}$ 时， $\exists λ \in (0, 1)$ ，使得 $A_{1} Q ⊥$ 平面 $D_{1} P A$ D、若三棱锥 $P - C B D$ 的外接球表面积为 $\frac{41}{4} π$ ，则 $λ = \frac{3}{4}$

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18、函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ)$ ，（ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）满足 $f (0) = 1$ ，且 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, 0]$ 上有且仅有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(5, 7)$ B、 $[\frac{11}{2}, 8)$ C、 $[\frac{13}{2}, \frac{19}{2})$ D、 $[4, 8)$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ ，则不等式 $f (2 x - 1) < f (x - 1)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{2}{3})$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{2}{3}, + \infty)$

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20、已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 $264$ ，所有偶数项的和为 $253$ ，则此数列的项数是（）

A、 $43$ B、 $45$ C、 $47$ D、 $49$

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