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相关试卷

1、已知命题p：集合 $A = \{x| x^{2} + x - 2 > 0\}$ ，命题q：集合 $B = \{x| x^{2} + 2 x - 3 > 0\}$ ，则p是q的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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2、已知 $a, b, c \in R, a > b$ ，则下列一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、 $a (c^{2} + 1) > b (c^{2} + 1)$

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3、已知集合 $A = {- 2, - 1, 1, 2}, B = \{x |\frac{x + 2}{x - 1} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、已知集合 $A = \{x | - 2 < x < 4\}$ ，集合 $B = \{x | x + a - 1 \geq 0\}$ ，若 $A \cup B = \{x | x > - 2\}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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5、中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）．

A、14种 B、16种 C、18种 D、20种

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6、航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展.2022~2023学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了10名学生的竞赛成绩，得到如下表格：
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩 $x_{i}$ （分）
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
记这10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ ．经计算 $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1690$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 33050$ ．

(1)、求 $\bar{x}$ 与 $s^{2}$ ；

(2)、规定竞赛成绩不低于60分为优秀，从这10名学生中任取3名，记竞赛成绩优秀的人数为X，求X的分布列；

(3)、经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 的值分别作为 $μ$ ， $σ^{2}$ 的近似值，若科创中心计划从全市抽查100名学生进行测试，记这100名学生的测试成绩恰好落在区间 $[43, 82]$ 的人数为Y，求Y的均值 $E (Y)$ ．
附：若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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7、甲、乙、丙、丁四名专家分别前往A，B，C三所中学开展科学知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，每个专家只能去一所学校，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有种.（填数字）

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8、由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式： $n - e + f = 2$ ，其中 $n$ 为顶点数， $e$ 为棱数， $f$ 为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式， $e = 12, f = 6$ ，可以得到顶点数 $n = 8$ .

(1)、已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；

(2)、证明： $n$ 个顶点的凸多面体，至多有 $3 n - 6$ 条棱；

(3)、已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.

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9、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为 $2$ 的正方形， $P B = P D$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = 1$ ， $P A$ 与平面 $A B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角 $P - B C - A$ 的正弦值.

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10、设 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b (2 cos A + {sin}^{2} C) = c sin B sin C + b$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、设 $c = \sqrt{3}, △ A B C$ 为锐角三角形， $D$ 是边 $A C$ 的中点，求 $\vec{D B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围.

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11、如图所示，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为 $2, E, F$ 分别为 $A^{'} B^{'}, B^{'} C^{'}$ 的中点，点 $G$ 满足 $\vec{B^{'} G} = λ \vec{B^{'} B}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，证明： $E G //$ 平面 $D^{'} A C$ ；

(2)、连接 $B D$ ，点 $M$ 在线段 $B D$ 上，且满足 $D^{'} M //$ 平面 $E F G$ .当 $λ \in [\frac{1}{2}, 1]$ 时，求 $D^{'} M$ 长度的取值范围.

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12、已知复数 $z = sin θ + i (cos 2 θ + 1), θ \in R$ ，且 $2 z - i$ 是实数.

(1)、求 $θ$ 的值；

(2)、求 $z^{3}$ 的值.

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13、如图所示，在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是平面 $B A_{1} C_{1}$ 内的动点，满足 $B_{1} P = \frac{\sqrt{6}}{4} a$ ，则直线 $D_{1} P$ 与平面 $B A_{1} C_{1}$ 所成角正切值的最大值为.

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14、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (2, - 1)$ ，则与 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 夹角相同的单位向量为.

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15、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $M, N$ 分别为 $B C, C D$ 的中点，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，使点 $D$ 不在平面 $A B C$ 内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）

A、 $M N$ $/ /$ 平面 $A B D$ B、异面直线 $A C$ 与 $M N$ 所成角为定值 C、设菱形 $A B C D$ 边长为 $a, ∠ C D A = 60^{\circ}$ ，当二面角 $D - A C - B$ 为 $120^{\circ}$ 时，三棱锥 $D - A B C$ 的外接球表面积为 $\frac{7}{3} π a^{2}$ D、若存在某个位置，使得直线 $A D$ 与直线 $B C$ 垂直，则 $∠ A B C$ 的取值范围是 $(0, \frac{π}{4})$

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16、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数， $z_{1} z_{2} \neq 0$ ，则以下说法正确的有（）

A、 $\frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} = | \frac{z_{1}}{z_{2}} |$ B、 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |$ C、 $\frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}, \frac{z_{1}}{z_{2}}$ 互为共轭复数 D、若 $| z_{1} | = 1$ ，则 $| z_{1} - 3 + 4 i |$ 的最大值为6

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17、以下关于向量的说法正确的有（）

A、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ B、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、 $|\vec{a} \cdot \vec{a} \cdot \vec{a}| = | \vec{a} |^{3}$ D、若 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{b}, \vec{b}$ $/ /$ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{c}$

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18、已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的内切球半径为 $r$ ，则当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最小时，它的高为（）

A、 $2 \sqrt{2} r$ B、 $3 r$ C、 $4 r$ D、 $5 r$

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19、已知 $△ A B C$ 满足 $3 \vec{C A} \cdot \vec{C B} + 4 \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 5 \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $cos A$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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20、以下说法正确的是（）

A、 $a$ 是平面 $α$ 外的一条直线，则过 $a$ 且与 $α$ 平行的平面有且只有一个 B、若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行 C、平面 $α$ 内不共线的三点到平面 $β$ 的距离相等，则 $α$ $/ /$ $β$ D、空间中 $A, B, C$ 三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个

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序号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
成绩 $x_{i}$ （分）	38	41	44	51	54	56	58	64	74	80