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相关试卷

1、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将 $△ D A C$ 沿着对角线AC折起至 $△ D^{'} A C$ ，连结 $B D^{'}$ ，得到三棱锥 $D^{'} - A B C$ .设二面角 $D^{'} - A C - B$ 的大小为 $θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A C ⊥ B D^{'}$ B、当平面 $E F G$ 截三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的截面为正方形时， $θ = \frac{π}{3}$ C、三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的体积最大值为1 D、当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时，三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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2、根据国家统计局统计，我国2018-2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据：
x
1
2
3
4
5
6
y
（单位：万人）
1523
1465
1202
1062
956
902
已知 $\bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 1185$ ，由最小二乘法求得 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = - 136 x + \hat{a}$ ，则（）

A、 $\hat{a} = 1661$ B、这6年出生人口数的下四分位数为1465 C、样本相关系数 $r < 0$ D、样本点 $(4, 1062)$ 的残差为55

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2 x}{e^{x}}, x \geq 0 \\ \sin (ω x + \frac{π}{3}), - π \leq x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = 4 f^{2} (x) - (2 \sqrt{2} + 2) f (x) + \sqrt{2}$ ，若函数 $y = g (x)$ 有8个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{13}{6}, \frac{7}{2}]$ B、 $[\frac{13}{6}, \frac{7}{2})$ C、 $[\frac{19}{12}, \frac{25}{12}]$ D、 $[\frac{19}{12}, \frac{25}{12})$

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4、设 $a = 1 + \ln 1.03$ ， $b = \frac{1.03}{e^{0.03}}$ ， $c = 1.03$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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5、将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有（）

A、84 B、90 C、72 D、78

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6、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $E$ 上一点， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ 且直线 $P F_{2}$ 的一个方向向量为 $(3, - \sqrt{3})$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\sin (α - \frac{β}{2}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (- \frac{α}{2} + β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\cos \frac{α + β}{2}$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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8、已知平面向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，则向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(5, 0)$ C、 $(\frac{4}{5}, - \frac{2}{5})$ D、 $(4, - 2)$

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 4$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $2^{2024}$ B、 $\pm 2^{2024}$ C、 $2^{2023}$ D、 $\pm 2^{2023}$

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10、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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11、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{a} - 2 \ln x (a \in R, a \neq 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $a = 4$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 4$ .

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12、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

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13、下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 ${(x^{a})}^{'} = a x^{a - 1}$ D、 ${({log}_{a} x)}^{'} - {(\frac{ln x}{ln a})}^{'} = \frac{1}{x ln a}$

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14、若 $\sin (α + β) + \cos (α + β) = 2 \sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4}) \sin β$ ，则（）

A、 $\tan (α - β) = 1$ B、 $\tan (α + β) = 1$ C、 $\tan (α - β) = - 1$ D、 $\tan (α + β) = - 1$

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15、已知 $y = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 12$ .
（1）若不等式y＞b的解集为(0，3)，求实数a，b的值；
（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有 $y \leq 3 x + 9 m^{2} - 6 m$ ，求m的取值范围.

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16、一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的 $\frac{5}{4}$ 快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为米．

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17、定义在 $N^{*}$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - a x + a^{2}, x < 3 \\ a x, x \geq 3 \end{matrix}$ 为递增函数，则头数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ C、 $[\frac{3}{4}, 1)$ D、 $(1, 3)$

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18、若幂函数 $y = x^{\frac{m}{n}}$ （ $m, n \in N^{*}$ ，且 $m$ 、 $n$ 互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $m$ 、 $n$ 是奇数且 $\frac{m}{n} < 1$ B、 $m$ 是偶数， $n$ 是奇数，且 $\frac{m}{n} > 1$ C、 $m$ 是偶数， $n$ 是奇数，且 $\frac{m}{n} < 1$ D、 $m$ 、 $n$ 是偶数，且 $\frac{m}{n} > 1$

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， E为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $A B / /$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、若二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45^{°}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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20、已知 $\overset{⃑}{a} = (2 \cos x, 2 \sin x)$ ， $\vec{b} = (\sin (x - \frac{π}{6}), \cos (x - \frac{π}{6}))$ ， $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $θ$ ，函数 $f (x) = \cos θ$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 最小正周期和对称中心；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $f (A) = 1$ ，求 $\frac{b + c}{a}$ 的取值范围．

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