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相关试卷

1、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为4，直线 $2 x - y = 0$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线.
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）记双曲线 $C$ 的左､右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，斜率为正的直线 $l$ 过点 $T (2, 0)$ ，交双曲线 $C$ 于点 $M$ ， $N$ (点 $M$ 在第一象限)，直线 $M A$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，直线 $N B$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A T$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ Q B T$ 面积为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值.

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2、如图，已知四边形 $A B C D$ 与 $E F A D$ 均为直角梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面EFAD， $A B ⊥ B C$ ， $A F ⊥ A D$ ， $M$ 为 $B F$ 的中点， $A F = A B = B C = 2 C D = 2 D E = 2$ .

(1)、证明： $C$ ， $E$ ， $F$ ， $M$ 四点共面；

(2)、求平面 $A M C$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值.

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3、设函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 为增函数，求 $a$ 的取值范围.

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4、在平面直角坐标系xOy中，已知点 $M (1, 0)$ ， $N (5, - 3)$ ， $P$ 是直线 $4 x - 3 y - 12 = 0$ 上任意一点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{M N} =$ ．

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5、如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 A_{1} A = 4$ ， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .动点 $P$ 满足 $B P ⊥ C C_{1}$ ，则下列判断正确的是（）

A、点 $P$ 可能在直线 $A A_{1}$ 上 B、点 $P$ 可能在直线 $B_{1} D_{1}$ 上 C、若点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内，则三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 的体积为定值 D、若点 $P$ 在棱 $C_{1} C$ 上，则 $\frac{C_{1} P}{C P} = \frac{1}{2}$

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6、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 在 $x \in (0, \frac{π}{3})$ 时满足 $f (x) > \frac{1}{2}$ 恒成立，且在区间 $(0, \frac{3 π}{2})$ 内，仅存在三个数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = m$ ，则 $\frac{x_{1}}{2} + x_{2} + \frac{x_{3}}{2} =$ （）

A、 $\frac{7 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{11 π}{6}$ D、 $\frac{13 π}{6}$

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7、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点， $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $1$ ，若 $|A F_{1}| = 2 |F_{1} B|$ ，且 $A F_{2} ⊥ x$ 轴，则此椭圆的长轴长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $5$ D、 $\frac{5}{2}$

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8、在ABC中， $A B = 3$ ， $\vec{B D} = \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ， $A D$ 与BE的交点为 $O$ ，若 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} = - 2$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则“ $m = 4$ ”是“ $a_{2} + a_{m} + a_{9} = 3 a_{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知复数z与复平面内的点 $(2, 2)$ 对应，则 $\frac{z - 1}{1 - i} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$

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11、已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角 $α$ 的终边过点 $P (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ，则 $\tan 2 α$ =（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12、 $sin 20 ° cos 10 ° - cos 160 ° \cdot sin 10 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} + \frac{a}{e^{x}} - (a - 2) x - 4 (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a \in (- \infty, 2 e)$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $x \in (- \infty, 2]$ 上的零点个数.

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14、已知点 $E (- 2 \sqrt{2}, 0)$ ， $F (2 \sqrt{2}, 0)$ ， $A (2, - 1)$ ，直线 $E M$ ， $F M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程 $Ω$ ；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $Ω$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率之和为0，且 $∠ P A Q = \frac{π}{2}$ ，求 $△ P A Q$ 的面积.

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15、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的等边三角形， $D$ 为 $A C$ 的中点， $A A_{1} = 3$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、证明： $B D ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、当 $A_{1} D = 2 \sqrt{2}$ 时，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ ．

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17、已知 $2 \cos (\frac{π}{4} + θ) = \cos (\frac{π}{4} - θ)$ ，则 $\tan θ =$ .

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18、随机变量 $X$ ， $Y$ 分别服从正态分布和二项分布，且 $X ~ N (3, 1)$ ， $Y ~ B (6, \frac{1}{2})$ ，则（）

A、 $E (X) = E (Y)$ B、 $D (X) = D (Y)$ C、 $P (X \leq 1) = P (X \geq 5)$ D、 $P (Y \leq 3) > P (X \geq 4)$

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19、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（）

A、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α // β$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n // α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m // α$ ， $m // β$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m // n$

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20、随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（）

A、0.2 B、0.5 C、0.6 D、0.8

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