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相关试卷

1、某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在 $[40, 100]$ 内，现将所得数据分成6组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；

(3)、现从 $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求 $[70, 80)$ 这组中抽取的人数．

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2、已知 $\vec{a} = (m, 3)$ ， $\vec{b} = (1, m + 2)$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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3、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，且 $∠ A B C = 120 °$ ，将菱形沿对角线 $A C$ 翻折成直二面角 $B - A C - D$ ，则异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值是；二面角 $A - B D - C$ 的余弦值是．

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4、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为3，且 $\vec{B F} = \frac{1}{2} (\vec{B C} + \vec{B D})$ ， $B F$ 与 $A C$ 交于点 $E$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B E} =$ ．

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5、如图，水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图是图中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 1$ ，则 $A B$ 边的实际长度是．

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若 $a = 6$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 周长的最大值为18 B、若 $a = 6$ ， $b + c = 8$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $6 \sqrt{7}$ C、若角 $A$ 的内角平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，且 $\frac{B D}{D C} = \frac{1}{2}$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为3 D、若 $A B = 3$ ， $A C = 1$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，且 $A M = \sqrt{2}$ ，则 $B C = 2 \sqrt{3}$

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7、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $|A B| = 2$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则下列说法中正确的有（）

A、异面直线 $M B$ 与 $A A_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $M B D$ C、过 $A$ ， $B$ ， $M$ 三点作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，则截面面积为 $2 \sqrt{5}$ D、若 $P$ 为正方体对角线 $B D_{1}$ 上的一个动点，则 $|P D| + |P M|$ 最小值为 $\sqrt{5 + \frac{8 \sqrt{3}}{3}}$

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8、函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x)$ 的一条对称轴方程为 $x = \frac{5π}{8}$ C、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{8}, 0)$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{3 π}{8}, k π + \frac{π}{8}]$ ， $k \in Z$

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9、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，若三棱锥外接球的表面积为 $52 π$ ，则此三棱锥的体积为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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10、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $P$ 是线段 $B D$ 上的一点，若 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + t \vec{A C}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{9}$

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11、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{3 π}{4}$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $- \sqrt{2} \vec{a}$ B、 $- \vec{a}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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12、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\cos A = \frac{3}{5}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、2

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13、若 $\sin θ - \cos θ = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 θ$ 的值是（）

A、 $- \frac{5}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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14、若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．则该组数据的第35百分位数为（）

A、17 B、20 C、23 D、25

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15、已知 $\frac{z}{1 + i} = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- i$ C、 $- 1 + i$ D、1

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16、已知函数 $f (x) = e ^{2 x} + 2 (1 - a) e ^{x} - 2 a x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，求证： $f (x) > ln a - (2 a - 1) ^{2} + \frac{3}{2}$ .

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17、3名同学去听同时举行的 $A$ ， $B$ ， $C$ 课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.

(1)、记选择 $B$ 课外知识讲座的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、对于两个不相互独立的事件 $M$ ， $N$ ，若 $P (M) > 0$ ， $P (N) > 0$ ，称 $ρ (M, N) = \frac{P (M N) - P (M) P (N)}{\sqrt{P (M) P (\bar{M}) P (N) P (\bar{N}})}$ 为事件 $M$ ， $N$ 的相关系数.
①已知 $ρ (M, N) > 0$ ，证明 $P (M | N) > P (M)$ ；
②记事件 $E =$ “ $B$ 课外知识讲座有同学选择”，事件 $F =$ “至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件 $E$ ， $F$ 是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求 $ρ (E, F)$ .

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{5}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n} - 4}{a_{n} - 1}$ .

(1)、证明 $\{\frac{1}{a_{n} - 2}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{9 ^{n}}{(a_{n} - 2) \times 10 ^{n}}$ ，
①当数列 $\{b_{n}\}$ 的项取得最大值时，求 $n$ 的值；
②求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19、某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
性别
足球
合计
喜欢
不喜欢
男生
30
20
50
女生
10
20
30
合计
40
40
80

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？

(2)、现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望.
附： $χ ^{2} = \frac{n (a d - b c) ^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$a$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、函数 $f (x) = x ^{2} + \frac{λ}{x}$ ， $λ \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x + y = 0$ 垂直，求切线 $l$ 的方程；

(2)、若 $x > 0$ ， $f (x) \geq 1$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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性别	足球		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	30	20	50
女生	10	20	30
合计	40	40	80

$a$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828