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1、已知命题“对于 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $e^{x} > a x + 1$ ”为真命题，写出符合条件的 $a$ 的一个值：．

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2、若“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $x^{2} - a x + 4 < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为.

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3、命题“ $\forall 1 \leq x \leq 3, x^{2} - a \leq 0$ ”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq 9$ B、 $a \geq 11$ C、 $a \geq 10$ D、 $a \geq 12$

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4、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 1 ， x^{2} < 1$ ”的否定是“ $\exists x \leq 1 ， x^{2} \geq 1$ ” B、“ $a > 10$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{10}$ ”的充分不必要条件 C、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ D、记 $A (x_{1}, f (x_{1})) ， B (x_{2}, f (x_{2})) (x_{1} \neq x_{2})$ 为函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 图象上的任意两点，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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5、已知 $a > 0$ ， $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - b x$ ，则 $x_{0}$ 是方程 $a x = b$ 的解的充要条件是（）

A、 $\exists x \in R, f (x) \geq f (x_{0})$ B、 $\exists x \in R, f (x) \leq f (x_{0})$ C、 $\forall x \in R, f (x) \geq f (x_{0})$ D、 $\forall x \in R, f (x) \leq f (x_{0})$

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6、下列命题中，真命题是（）

A、“ $a > 1, b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”的必要条件 B、 $\forall x > 0, e^{x} > 2^{x}$ C、 $\forall x > 0, 2^{x} \geq x^{2}$ D、 $a + b = 0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b} = - 1$

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7、设命题 $p : 0 < l n (x - 2) \leq l n 3$ ，命题 $q : (x - 2 m) (x - 2 m - 3) \leq 0$ ．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．

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8、若关于 $x$ 的不等式 $(x - a) (x - 3) < 0$ 成立的充要条件是 $2 < x < 3$ ，则 $a =$ .

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9、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + l n x$ ，则过点 $(a, b) (a > 0)$ 恰能作曲线 $y = f (x)$ 的两条切线的充分条件可以是（）

A、 $b = 2 a - 1 < 1$ B、 $b = 2 a - 1 > 1$ C、 $f (a) < 2 a - 1 < 1$ D、 $2 a - 1 > f (a) > 1$

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10、下列命题中正确的命题是（）

A、 $\exists x \in (- \infty, 0)$ ，使 $2^{x} < 3^{x}$ ； B、若 $s i n α + c o s α = 1$ ，则 $s i n^{4} α + c o s^{4} α = 1$ ； C、已知 $a$ ， $b$ 是实数，则“ $(\frac{1}{3})^{a} < (\frac{1}{3})^{b}$ ”是“ $l o g_{3} a > l o g_{3} b$ ”的必要不充分条件； D、若角 $α$ 的终边在第一象限，则 $\frac{s i n \frac{α}{2}}{| s i n \frac{α}{2} |} + \frac{c o s \frac{α}{2}}{| c o s \frac{α}{2} |}$ 的取值集合为 ${2 ， - 2}$ ．

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11、“ $a$ ≥3”是“函数 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增”的条件．（填充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）

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12、“函数 $y = t a n x$ 的图象关于 $(x_{0}, 0)$ 中心对称”是“ $s i n 2 x_{0} = 0$ ”的条件．

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13、已知函数 $f (x) = | x | + s i n^{2} x$ ，设 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，则 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 成立的一个充分条件是（）

A、 $| x_{1} | > x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} > 0$ C、 $x_{1}^{2} > x_{2}^{2}$ D、 $| x_{1} | > | x_{2} |$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ ，则“ $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ”是“ $x = 1$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、（2021·北京·高考真题）已知 $f (x)$ 是定义在上 $[0, 1]$ 的函数，那么“函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增”是“函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为 $f (1)$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、“ $x$ 为整数”是“ $2 x + 1$ 为整数”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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17、设甲： $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ，乙： $s i n α + c o s β = 0$ ，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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18、设复数 $z$ 满足： $z + |\bar{z}| = 2 + i$ ，那么 $z =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} + i$ B、 $\frac{3}{4} + i$ C、 $- \frac{3}{4} - i$ D、 $\frac{3}{4} - i$

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、0 B、 $- 5$ C、4 D、3

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20、A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为．

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