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相关试卷

1、已知 $z \cdot (1 + i) = 4$ ，则z的虚部为（）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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2、已知向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ，则与向量 $\vec{a}$ 同向的单位向量的坐标为（）

A、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

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3、 $\tan \frac{4 π}{3}$ 等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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4、如图，某区有一块 $△ O A B$ 的空地，其中 $O A = 2 km, O B = 2 \sqrt{3} km$ ， $∠ A O B = 90 °$ ．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 $△ O M N$ ，其中 $M$ ， $N$ 都在边 $A B$ 上，且 $∠ M O N = 30 °$ ，挖出的泥土堆放在 $△ O A M$ 地带上形成假山，剩下的 $△ O B N$ 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在 $△ O A N$ 的周围安装防护网．
（1）当 $A M = 1 km$ 时，求防护网的总长度；
（2）若要求人工湖用地 $△ O M N$ 的面积是假山用地 $△ O A M$ 面积的 $\sqrt{3}$ 倍，试确定 $∠ A O M$ 的大小；
（3）如何设计施工方案，可使 $△ O M N$ 的面积最小？最小面积是多少？

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5、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，且平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $C D ⊥ B C$ ， $B C = 2$ ，且直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $45 °$ ，

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ；

(2)、求二面角 $C - A D - B$ 的余弦值；

(3)、求三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积．

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6、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ．

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，求 $c o s B$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 8$ ，求 $b$ ， $c$ ．

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7、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面， $A C = B C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点．正 $△ A B C$ 的边长为 $2$ ， $B B_{1} = \sqrt{3}$ ，

(1)、求证： $B C_{1} //$ 平面 $C A_{1} D$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A_{1} D C$ 的体积；

(3)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值.

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8、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ 在 $B C$ 边上且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C}$ ．

(1)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，用 $\vec{A B} ， \vec{A C}$ 表示 $\vec{A E}$ ，并求线段 $A E$ 的长；

(2)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $μ = \frac{2}{3}$ ，求 $cos ∠ E A F$ 的值．

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9、如图，在直三棱柱 $\overset{}{A B C - A_{1} B_{1} C_{1}}$ 中， $M$ 为棱 $A C$ 的中点． $A B = B C$ ， $A C = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ． $N \in B B_{1}$ ，使得平面 $A C_{1} N ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，则 $\frac{B N}{B B_{1}}$ = ．

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10、已知复数z满足 $| z + 2 - 2 i | = 1$ ，则复数 $z$ 的模 $| z |$ 的最大值是 $=$ .

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11、已知正六边形ABCDEF的边长为2，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B F} =$ .

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12、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列正确的是（）

A、直线 $D P$ 与 $B C_{1}$ 是异面直线 B、 $C P / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、 $A_{1} P + P B$ 的最小值是2 D、在线段 $B_{1} D_{1}$ 上存在点 $P$ ，使得异面直线 $A P$ 与 $C_{1} C$ 所成角是30°

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13、已知函数 $f (x) = cos ω x - \sqrt{3} sin ω x$ ， $ω > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 4$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω = 2$ B、若 $ω = \frac{1}{2}$ ，则将的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称 C、若 $ω = \frac{3}{2}$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 最小值为-1 D、若 $f (x)$ 在 $x \in [0, π]$ 上有且仅有 $2$ 个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{7}{6}, \frac{13}{6})$

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14、下列说法正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $A = 60 °$ ， $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 D、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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15、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，O为底面ABCD的中心， $A C_{1}$ 交平面 $A_{1} B D$ 于点E，点F为棱CD的中点，则下列错误的是（）

A、三棱锥 $A_{1} {- C}_{1} D B$ 内切球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、异面直线BD与 $A C_{1}$ 所成的角为 $60^{°}$ C、点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、过点 $A_{1}$ ， B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 $\frac{9}{8}$

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16、下述四条性质：①最小正周期是 $π$ ， ②图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，③图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称，④在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（）

A、 $y = sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = cos (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ .已知 $\frac{2 sin B}{a} = \frac{sin A}{2 b}, cos A = - \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{c}{b} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、已知向量 $\vec{m} = (2 \sqrt{3}, \cos θ), \vec{n} = (\sin θ, 2)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 1$ ，则 $\cos (2 θ + \frac{π}{3})$ 的值是（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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19、一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在南偏东 $30^{\circ}$ ，行驶x小时后，船到达C处，看到这个灯塔在南偏西 $15^{\circ}$ ，此时测得船与灯塔的距离为 $30 \sqrt{6} km$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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20、用斜二测画法作出 $△ A B C$ 的水平放置的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $A^{'} C^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A^{'} B^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 绕 $A C$ 所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）

A、 $\frac{5}{3} π$ B、 $9 π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{10}{3} π$

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