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相关试卷

1、已知i为虚数单位，复数z ，满足 $| z | = 5$ ， $z$ 在复平面中的第一象限，且实部为3，则 $\bar{z}$ 为.

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2、已知复数 $z$ 满足 $(3 + 4 i) z = 5 i$ ，则 $| z - \bar{z} | =$ .

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3、已知方程 $z^{2} + 2 z + 3 = 0$ 的两个复数根分别为 $z_{1}, z_{2}$ ，则（）

A、 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、 $z_{1} + z_{2} = 2$ C、 $z_{1} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ D、 $| z_{1} - z_{2} | = 2 \sqrt{2}$

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4、设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 是非零复数，则下列选项正确的是（）

A、 $z_{1}^{2} = {\bar{z_{1}}}^{2}$ B、 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |$ C、若 $| z_{1} - 2 - 2 i | = 2$ ，则 $| z_{1} + 1 - 6 i |$ 的最小值为3 D、若 $| z_{2} + i | + | z_{2} - i | = 4$ ，则 $| z_{2} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ .

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5、已知 $2 i - 3$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根（其中 $p \in R$ ， $q \in R$ ），则 $p + q =$ （）

A、38 B、36 C、28 D、14

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6、已知 $i$ 为虚数单位，则 ${(1 + i)}^{2} + 2 (1 - i)$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $0$ D、 $4 i$

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7、已知 $a \in R$ ，且 $a i + \frac{2}{1 + i} = 1$ ，则 $a =$ ．

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8、已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z_{1} = (m - 1) + (m^{2} + 1) i (m \in R)$ ， $z_{2} = c o s θ + i s i n θ (θ \in R)$ ，则（）

A、任意 $m \in R$ ，均有 $| z_{1} | > | z_{2} |$ B、任意 $m \geq 1$ ，均有 $z_{1} \geq 0$ C、存在 $m \in R$ ，使得 $z_{1} = z_{2}$ D、存在 $m \in R$ ，使得 $| z_{1} - z_{2} | = \sqrt{2} - 1$

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9、已知 $z_{1} = 3 + 2 i, z_{2} = 4 - i$ ，则（）

A、 $z_{1} + z_{2}$ 的虚部为 $- 1$ B、 $4 z_{1} - 3 z_{2}$ 是纯虚数 C、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于第一象限 D、 $| \frac{z_{2}}{i} | = | z_{1} | + 4$

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10、若 $z = \frac{1 + i}{a + i}$ 为纯虚数， $a \in R$ ，则 $| z + 1 | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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11、已知 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z + z^{3} + z^{5} =$ （）

A、i B、 $- i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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12、设 $a \in R, (a + i) (1 - a i) = 2,$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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13、若 $z = 5 + i$ ，则 $i (\bar{z} + z) =$ （）

A、 $10 i$ B、 $2 i$ C、10 D、 $2$

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14、设 $z = \sqrt{2} i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、2

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15、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A D = \frac{2}{3} A B$ ，点 $E$ 在边 $D C$ 上，满足 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ，则向量 $\vec{A E}$ 在向量 $\vec{A D}$ 上的投影向量为（请用 $\vec{A D}$ 表示）；若 $A B = 3$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为线段 $A B$ ， $B C$ 上的动点，满足 $B M + B N = 1$ ，则 $\vec{E M} \cdot \vec{E N}$ 的最小值为．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ．若 $2 \sqrt{3} c c o s^{2} \frac{A + C}{2} = b s i n C$ ，且边 $A C$ 上的中线 $B D$ 长为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $b$ 的取值范围为 $[2, 2 \sqrt{3})$ C、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 周长的最大值为 $3 \sqrt{6}$

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17、在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 的外心， $M$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{A B} \cdot \vec{A O} = 8$ ， $N$ 是直线 $O M$ 上异于 $M$ 、 $O$ 的任意一点，则 $\vec{A N} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、3 B、6 C、7 D、9

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18、在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，点D为边 $B C$ 上一点，且满足 $(\vec{A D} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ．

(1)、证明： $A D = b$ ；

(2)、若 $A D$ 为内角A的平分线，且 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，求 $s i n A$ ．

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19、已知向量 $\vec{u} = (s i n x, s i n^{2} (x + \frac{π}{4})), \vec{v} = (\sqrt{3} s i n x, 1)$ ，函数 $f (x) = 2 \vec{u} \cdot \vec{v} - \sqrt{3}$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 内有且只有一个零点，则实数 $m$ 的取值范围为.

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 2, 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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