高中数学沪教版-试题列表-第1898页

1、命题

α

：关于

x

的方程

x^{2} + 3 x + m + 2 = 0

有两个相异负根．命题

β

：关于

$x$ 的不等式 $x^{2} + 4 m x + 8 m + 12 > 0$ 对 $x \in R$ 恒成立．

(1)、若命题

α

为真命题，求实数

m

的取值范围；

(2)、若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数

m

的取值范围．

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2、已知R的子集U为一个数集，集合

A = \{s^{2} + 3 t^{2} | s, t \in U\}

.

(1)、设

U = {1, 3, 5}

，求：集合A的非空真子集个数；

(2)、设

U = ​ ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Z

，证明：若

x \in A

，则

7 x \in A

.

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3、集合

P = \{x ∣ x = 2 k, k \in Z\}

，

Q = \{x ∣ x = 2 k + 1, k \in Z\}

，

M = \{x ∣ x = 4 k + 1, k \in Z\}

，且

a \in P

，

b \in Q

，则（　　）

A、

a + b \in P

B、

a + b \in Q

C、

a + b \in M

D、

a + b

不属于

P

，

Q

，

M

中的任意一个

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4、已知a，b，

c \in R

，则“

a \leq b

”的必要不充分条件可以是下列的选项（）

A、

\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}

B、

a c \leq b c

C、

a c^{2} \leq b c^{2}

D、

a^{2} \leq b^{2}

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5、集合

M = \{930, - 5, - 1, 0, π\}

有5个元素，设

M

的所有非空子集为

M_{i} (1, 2, \dots, 31)

，每一个

M_{i}

中所有元素乘积为

m_{i} (i = 1, 2, \dots, 31)

，则

m_{1} + m_{2} + m_{3} + \dots + m_{31} =

.

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6、已知不等式

x^{2} - 6 x + a (6 - a) < 0

的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为.

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7、已知集合

P = \{x| - 2 \leq x \leq 10\}

，

Q = \{x| x^{2} - 2 x + (1 - m^{2}) \leq 0\}

，其中

m > 0

，全集

U = R

.若“

x \in \bar{P}

”是“

x \in \bar{Q}

”的必要不充分条件，则实数

m

的取值范围为.

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8、如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是（请用各集合的交，并，补表示）

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9、已知关于x的不等式组

\{\begin{array}{l} x^{2} - x - 2 > 0 \\ 2 x^{2} + (2 k + 5) x + 5 k < 0 \end{array}

的整数解的集合为

\{- 2\}

，则实数k的取值范围是．

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10、下列不等式中，不成立的是．（填序号）

①若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ ；②若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ ；③若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ；

④若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ；⑤若 $a > b$ ，若 $a^{5} > b^{5}$ ；⑥若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；

⑦若 $a > b > 0$ ， $0 < c < d$ ，则 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ ；⑧若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ ．

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11、若一元二次方程

x^{2} - 4 x + 1 = 0

的两根分别为a，b，则

a^{2} - 2 a + a (b - 2) - 2024 =

.

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12、若关于x的不等式x²－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为．

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13、若

x > - 1

，则

\frac{2 x^{2} + 4 x + 4}{x + 1}

的最小值为.

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14、化简：

\sqrt[3]{a^{5}} \cdot {(\frac{1}{a})}^{\frac{5}{2}} \cdot a^{\frac{5}{6}}

=.

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15、设满足

x^{2} - 2024 b + 2025 c > 0

的解集为

(2, 8)

的

(b, c)

所组成的集合为A，则

A =

.

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16、0N（选填“

\in

”或“∉”）

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17、已知集合

A = \{1, a\}

，

B = \{2, a^{2}\}

，若

A \cup B

中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（）

A、

\{0\}

B、

\{- 1, 2\}

C、

\{0, 2\}

D、

\{0, - 1, 2\}

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18、已知函数

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}

，其中

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

不全为0，并约定

a_{n + 1} = 0

，设

b_{k} = (k + 1) a_{k + 1} - a_{k}

，称

g (x) = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{n} x^{n}

为

f (x)

的“伴生函数”．

(1)、若

f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x + 1

，求

g (x)

；

(2)、若

f (x) > 0

恒成立，且曲线

y = ln f (x) (x > 0)

上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当

x > 0

时，

g (x) \geq f (x)

；

(3)、若

a_{0} = 0

，证明：对于任意的

m \in (0, + \infty)

，均存在

t \in (0, m)

，使得

g (t) < \frac{f (m)}{m}

．

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19、如图，在三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

中，平面ABC⊥平面

A C C_{1} A_{1}

，侧面

A C C_{1} A_{1}

为菱形，

A C = 2

，

∠ A_{1} A C = 60 °

，底面ABC为等腰三角形，

A B = B C

， O是AC的中点．

(1)、证明：平面

O A_{1} B_{1} ⊥

平面

A B C

；

(2)、若平面

A O B_{1}

与平面

O B_{1} C_{1}

的夹角余弦值为

\frac{\sqrt{10}}{4}

，求三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

的体积．

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20、已知

S_{n}

是等差数列

\{a_{n}\}

的前

n

项和，且

a_{2} + a_{7} = 40, S_{5} = 70

.

(1)、求

S_{n}

；

(2)、若

b_{n} = \frac{1}{S_{n}}

，记数列

\{b_{n}\}

前

n

项和为

T_{n}

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