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相关试卷

1、设 $a = C_{19}^{0} + C_{19}^{1} 7 + C_{19}^{2} 7^{2} + \dots + C_{19}^{19} 7^{19}$ ，则 $a$ 除以9所得的余数为．

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2、曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K (x) = \frac{|f^{″} (x)|}{{[1 + {(f^{'} (x))}^{2}]}^{1.5}}$ ，其中 $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数．下面说法正确的是（）

A、若函数 $f (x) = x^{3}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- a, - a^{3})$ 与点 $(a, a^{3})$ 处的弯曲程度相同 B、若 $f (x)$ 是二次函数，则曲线 $y = f (x)$ 的曲率在顶点处取得最小值 C、若函数 $f (x) = \sin x$ ，则函数 $K (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ D、若函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 上任意一点的曲率的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l与抛物线相交于A，B两点， $|A B| = 12$ ，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（）

A、 $Q A ⊥ Q B$ B、若 $M (1, 1)$ ， P是抛物线上一动点，则 $|P M| + |P F|$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ C、 $△ A O B$ （O为坐标原点）的面积为 $3 \sqrt{2}$ D、 $M (- \frac{p}{2}, 0)$ ，则 $\tan ∠ A M B = 2 \sqrt{2}$

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4、下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2}$ ， $z \in C$ B、 $i^{2024} = - 1$ C、若 $|z| = 1$ ， $z \in C$ ，则 $|z - 2|$ 的最小值为1 D、若 $- 4 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根，则 $p = 8$

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5、在某款计算器上计算 $\log_{a} b$ 时，需依次按下“Log”､“（”､“a”､“，”､“b”､“）”6个键.某同学使用该计算器计算 $\log_{a} b$ （ $a > 1$ ， $b > 1$ ）时，误将“Log”､“（”､“b”､“，”､“a”､“）”这6键，所得到的值是正确结果的 $\frac{4}{9}$ 倍，则（）

A、 $2 a = 3 b$ B、 $a^{3} b^{2} = 1$ C、 $a^{2} = b^{3}$ D、 $a^{3} = b^{2}$

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6、斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有 $10$ 对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距 $|P_{i} P_{i + 1}| (i = 1, 2, 3, \dots, 9)$ 均为 $3.4 m$ ，拉索下端相邻两个锚的间距 $|A_{i} A_{i + 1}| (i = 1, 2, 3, \dots, 9)$ 均为 $16 m$ ．最短拉索的锚 $P_{1}$ ， $A_{1}$ 满足 $|O P_{1}| = 66 m$ ， $|O A_{1}| = 86 m$ ，则最长拉索所在直线的斜率为（）

A、 $\pm 0.47$ B、 $\pm 0.45$ C、 $\pm 0.42$ D、 $\pm 0.40$

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7、已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{5}{8} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、60° B、120° C、135° D、150°

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8、如图所示的多面体由一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，四棱锥 $P - A B B_{1} A_{1}$ 与三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2， $∠ C_{1} C A = ∠ C_{1} C B = 120 °$ ．

(1)、求直线AB与平面 $P A_{1} B_{1}$ 的距离；

(2)、求平面 $P B B_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值．

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9、已知函数 $f (x) = \sin 2 ω x \cos φ + \cos 2 ω x \sin φ (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = 2$ C、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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10、已知复数z，则（）

A、 $|z| = |\bar{z}|$ B、 $|z + \bar{z}| = |z| + |\bar{z}|$ C、 $z^{2} = |\bar{z}|$ D、 $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2}$

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11、若集合 $A, B, C$ ， $D$ 满足 $A, B, C$ 都是 $D$ 的子集，且 $A \cap B$ ， $B \cap C$ ， $A ∩ C$ 均只有一个元素，且 $A ∩ B ∩ C = \emptyset$ ，称 $(A, B, C)$ 为 $D$ 的一个“有序子集列”，若 $D$ 有5个元素，则有多少个“有序子集列”.

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12、函数 $f (x) = 2^{2 x} - 2^{x + 1} + 2$ 的定义域为 $M$ ，值域为 $[1, 2]$ ，下列结论中一定成立的结论的序号是（）

A、 $M \subseteq (- \infty, 1]$ B、 $M \supseteq [- 2, 1]$ C、 $1 \in M$ D、 $0 \in M$

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13、若函数 $y = f (x)$ 满足对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，且 $y = f (x) - 1$ 为R上的奇函数，当 $x \in (- 1, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}} + s i n (\frac{π}{6} x) + 1$ ，则集合 $A = {x | f (x) = l o g_{3} x}$ 中的元素个数为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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14、已知数列 $A : a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{N} (N \geq 3)$ 的各项均为正整数，设集合 $T = {x ∣ x = a_{j} - a_{i}$ ， $1 \leq i < j \leq N}$ ，记 $T$ 的元素个数为 $P (T)$ .

(1)、若数列A：1，3，5，7，求集合 $T$ ，并写出 $P (T)$ 的值；

(2)、若 $A$ 是递减数列，求证：“ $P (T) = N - 1$ ”的充要条件是“ $A$ 为等差数列”；

(3)、已知数列 $A : 2, 2^{2}, ⋯, 2^{N}$ ，求证： $P (T) = \frac{N (N - 1)}{2}$ .

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15、已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}}$ ， $B = {y | y = \frac{1}{1 - \sqrt{1 - x}}}$ ，那么 $∁_{R} (A \cap B) =$ ．

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16、将函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上为增函数，则 $ω$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、2 C、3 D、4

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17、已知集合 $A = {x | 4 x - x^{2} - 3 > 0}$ ，集合 $B = {x | 2 m < x < 1 - m}$ ．

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数m的取值范围；

(2)、命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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18、已知集合 $A = {x ∣ x^{2} + x - 6 < 0}, B = {x ∣ 1 - m < x < 2 m + 3}$ .

(1)、若 $A ∩ B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、已知集合 $M = {- 2, - 1, 0, 1}$ ， $N = {x | a - 3 < x < 1}$ ，若 $M \cap N$ 中有2个元素，则实数a的取值范围是．

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20、已知集合 $A = {x \in N | \frac{1}{3} < 3^{x + 1} < 27}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x + m = 0}$ ，若 $1 \in A ∩ B$ ，则 $A \cup B$ 的子集的个数为．

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