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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ，则 $A B + \sqrt{3} B C$ 的最大值为．

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2、在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，设△ABC的面积为S ，其中 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b^{2} + c^{2} = 24$ ，则S的最大值为．

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3、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 6 0^{∘}, A B = 6, A C = 3$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ，则 $A D =$ .

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4、如图，为了测量障碍物两侧A ， B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（）

A、a ， b ， $γ$ B、 $α$ ， $β$ ， $γ$ C、a ， $β$ ， $γ$ D、 $α$ ， $β$ ， b

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5、某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有

A、在水平地面上任意寻找两点 $A$ ， $B$ ，分别测量旗杆顶端的仰角 $α$ ， $β$ ，再测量 $A$ ， $B$ 两点间距离 B、在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为 $h$ ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角 $α$ 和 $β$ C、在地面上任意寻找一点 $A$ ，测量旗杆顶端的仰角 $α$ ，再测量 $A$ 到旗杆底部的距离 D、在旗杆的正前方 $A$ 处测得旗杆顶端的仰角 $α$ ，正对旗杆前行5m到达 $B$ 处，再次测量旗杆顶端的仰角 $β$

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6、如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 23 °$ ， $∠ C D B = 30 °$ ， $C D = 11.2 m$ ，在 $C$ 点测得甲秀楼顶端 $A$ 的仰角为 $72.4 °$ ，则甲秀楼的高度约为（参考数据： $t a n 72.4 ° \approx 3.15$ ， $s i n 53 ° \approx 0.8$ ）（）

A、 $20 m$ B、 $21 m$ C、 $22 m$ D、 $23 m$

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7、在锐角△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $c = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则a的取值范围为（）

A、 $(0, 4 \sqrt{3})$ B、 $(2, 4 \sqrt{3})$ C、 $(2 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3})$ D、 $(0, 2 \sqrt{3})$

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8、湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底， $A, C, D$ 在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得 $C D = 18 m, A D = 15 m$ ，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（）（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，精确到 $0.1 m$ ）

A、 $35.0 m$ B、 $36.4 m$ C、 $38.4 m$ D、 $39.6 m$

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 7$ ， $b = 3$ ， $c = 5$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、 $△ A B C$ 为直角三角形 C、 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、 $△ A B C$ 的形状无法确定

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10、十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆 $A B$ 和横档 $C D$ 构成，并且 $E$ 是 $C D$ 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从 $A$ 点观察．滑动横档 $C D$ 使得 $A$ ， $C$ 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点 $D$ ， $D E$ 的影子恰好是 $A E$ ．然后，通过测量 $A E$ 的长度，可计算出视线和水平面的夹角 $∠ C A D$ （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

(1)、在某次测量中， $A E = 40$ ，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．

(2)、在杆 $A B$ 上有两点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 满足 $A A_{1} = \frac{1}{2} A A_{2}$ ．当横档 $C D$ 的中点 $E$ 位于 $A_{i}$ 时，记太阳高度角为 $α_{i} (i = 1, 2)$ ，其中 $α_{1}$ ， $α_{2}$ 都是锐角．证明： $α_{1} < 2 α_{2}$ ．

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11、（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $A D = C D = 2$ .

(1)、当四边形 $A B C D$ 内接于圆O时，求角C；

(2)、当四边形 $A B C D$ 面积最大时，求对角线 $B D$ 的长.

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12、已知 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $s i n 2 C + 2 \sqrt{3} s i n^{2} C = \sqrt{3}, C \in (0, \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $a = \sqrt{3}, b = 4$ ，求c的值以及 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\vec{B M} = λ \vec{B C} (0 < λ < 1), t a n ∠ B A C = - \frac{\sqrt{14}}{2}$ ，求 $c o s ∠ B A C$ 的值以及 $\frac{A M}{C M}$ 的取值范围．

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13、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{2}$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆半径为4.

(1)、若 $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $D = \frac{2 π}{3}$ ，求 $B C - A D$ 的最大值.

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14、如图，已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{15}, C D = 3, A D = 5$ ．

(1)、若 $A, B, C, D$ 四点共圆，求 $A C$ ；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $B = 6 0^{∘}, A = 4 5^{∘}, c - a = 3$ ， $∠ B$ 的平分线 $B D$ 交边 $A C$ 于点 $D, A B$ 边上的高为 $C F, B C$ 边上的高为 $A E, B D \cap C F = P$ ， $A E \cap C F = R, B D \cap A E = Q$ ，则 $∠ P Q R =$ ； $P Q =$ .

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16、如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3, A C = 2 B C, A D = D C, ∠ A D C = 9 0^{∘}$ ，则四边形 $A B C D$ 面积的最大值为.

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17、黄金分割是指将整体一分为二，较小部分 $a$ 与较大部分 $b$ 的比值等于较大部分 $b$ 与整体部分 $a + b$ 的比值，其比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（）

A、若椭圆 $Γ$ 的焦点在 $x$ 轴上，上顶点为 $B$ ，右顶点为 $A$ ，左焦点为 $F$ ．小欧提出只要满足 $\vec{B F} \cdot \vec{B A} = 0$ ，椭圆 $Γ$ 的离心率就等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、一顶角等于 $36 °$ 的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、假设 $n \in N^{*}$ ，小莱发现若公比大于0的等比数列 ${a_{n}}$ 与著名的斐波那契数列的递推公式 $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}$ 相同，则数列 ${a_{n}}$ 的公比等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离 $a$ 与柱高 $b$ 满足 $l o g_{4} a = l o g_{6} b = l o g_{9} (a + b)$ ，则 $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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18、下列命题中，不正确的是（）

A、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ B、若平面 $α ⊥$ 平面 $γ$ ，平面 $β ⊥$ 平面 $γ$ ，则平面 $α / /$ 平面 $β$ C、若“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ ”的逆命题为假命题 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ .

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19、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $∠ A = \frac{π}{4}$ ，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，则三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大时，三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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20、瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为 $\frac{3}{2}$ ，沿山道继续走20 $m$ ，测得瀑布顶端的仰角为 $\frac{π}{3}$ .已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 $\frac{π}{3}$ .根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 $m$ ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为 $\frac{π}{4}$ ，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进 $20 \sqrt{2} m$ ，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为.（此人身高忽略不计）

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