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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ ( $a$ 为常数， $a \in R$ ).
（1）讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性；
（2）当 $f (x)$ 为偶函数时，若方程 $f (2 x) - k \cdot f (x) = 3$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $k$ 的取值范围.

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{(n + 3) \cdot 2^{n - 1}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = {log}_{2} \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，求 $[\sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\sqrt{c_{k}}}]$ ．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为6的正三角形， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A B$ 和 $P D$ 上的点， $A E = 4$ .

(1)、试确定点 $F$ 的位置，使得 $A F / /$ 平面 $P E C$ ，并证明；

(2)、若直线 $C F$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{2}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A F C$ 夹角的余弦值.

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4、设函数 $f (x) = \ln x + \ln (2 - x) + a x$ $(a > 0)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值．

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5、若 $f (x) = \frac{9^{x}}{9^{x} + 3}$ ，则 $f (- 3) + f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) =$ ．

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6、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + a x$ ，则（）

A、当 $a = - 3$ 时， $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递增 B、当 $a \geq 0$ 时， $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增 C、当 $a = 0$ 时，直线 $y = 0$ 不是 $y = f (x)$ 的切线 D、对 $\forall a \in R$ ，点 $(1, f (1))$ 是 $y = f (x)$ 的对称中心

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7、已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) > f (x)$ .若 $a = \frac{f (- \log_{2} 3)}{- \log_{2} 3}, b = \frac{f (\log_{4} 6)}{\log_{4} 6}, c = \frac{f (\sin \frac{π}{8})}{\sin \frac{π}{8}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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8、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x}{e^{x}}$ 的大致图象是

A、 B、 C、 D、

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9、若 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且 $f^{'} (a) = - 1$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{2 Δ x} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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10、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $A C$ 为底面直径， $△ A B D$ 为底面圆 $O$ 的内接正三角形，点 $E$ 在母线 $P C$ 上，且 $A B = A E = 3, C E = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求直线 $P O$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值；

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11、现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第 $k (k = 1, 2, 3, 4)$ 个袋中有 $k$ 个红球， $4 - k$ 个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为．

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12、已知 $cos 2 x = {cos}^{2} (x - \frac{π}{4})$ ，则 $tan x =$ ．

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13、有一组样本数据 $0, 1, 2, 3, 4$ ，添加一个数 $X$ 形成一组新的数据，且 $P (X = k) = \frac{C_{5}^{k}}{32} (k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\})$ ，则新的样本数据（）

A、众数为2的概率是 $\frac{5}{16}$ B、极差不变的概率是 $\frac{31}{32}$ C、第25百分位数不变的概率是 $\frac{3}{16}$ D、平均值变大的概率是 $\frac{1}{2}$

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14、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \frac{e^{x}}{|x|}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + 2 a f (x) - e^{2} - a e$ 恰有4个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2 e)$ B、 $(- \infty, - e)$ C、 $(- \infty, - \frac{2}{e})$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{e})$

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15、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上､下底面面积分别为 $4 π, 36 π$ ，其外接球球心 $O$ 满足 $\vec{O_{1} O} = 3 \vec{O O_{2}}$ ，则圆台 $O_{1} O_{2}$ 的外接球体积与圆台 $O_{1} O_{2}$ 的体积之比为（）

A、 $\frac{20 \sqrt{5}}{13}$ B、 $\frac{10 \sqrt{10}}{13}$ C、 $\frac{10 \sqrt{5}}{13}$ D、 $\frac{10}{13}$

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16、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \leq 2$ B、 $\frac{4}{a} + \frac{2}{b} \geq 6$ C、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ D、 $\ln a + \ln b \leq 0$

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17、在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、已知集合 $A = \{x | y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\}$ ， $B = \{y| y = \ln (x^{2} + 1)\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A$ $∁_{U} B$ C、 $∁_{U} A$ $B$ D、 $A = B$

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19、对于一组向量 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{n}}$ ，（ $n \in N$ 且 $n \geq 3$ ），令 $\vec{S_{n}} = \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} + \dots + \vec{a_{n}}$ ，如果存在 $\vec{a_{p}}$ （ $p \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ），使得 $|\vec{a_{p}}| \geq |\vec{S_{n}} - \vec{a_{p}}|$ ，那么称 $\vec{a_{p}}$ 是该向量组的“长向量”.

(1)、设 $\vec{a_{n}} = (n, x + 2 n)$ ， $n \in N$ 且 $n > 0$ ，若 $\vec{a_{3}}$ 是向量组 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ 的“长向量”，求实数x的取值范围；

(2)、若 $\vec{a_{n}} = (\sin \frac{n π}{2}, \cos \frac{n π}{2})$ ， $n \in N$ 且 $n > 0$ ，向量组 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{7}}$ 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；

(3)、若对于一组向量 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{n}}$ （ $n \in N$ 且 $n \geq 3$ ），记 $T = \{\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}}, \dots, \vec{a_{n}}\}$ 已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证： $\vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \dots + \vec{a_{n}} = \vec{0}$ .

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20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (b, a + c)$ ， $\vec{n} = (b - c, c - a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、若边 $a = 8$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ， $∠ B A C$ 的平分线交BC边于点D.求AD的长；

(2)、若E为BC边上任意一点， $A E = 1$ ， $\frac{B E}{E C} = \frac{2 c}{b}$ .
（ⅰ）用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A E}$ ；
（ⅱ）求 $2 b + c$ 的最小值.

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