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相关试卷

1、当 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k} \in N^{*}$ ，且 $n_{1} < n_{2} < \dots < n_{k}$ 时，我们把 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ 的 $k$ 阶子数列，若 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}$ 成等差（等比）数列，则称 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的 $k$ 阶等差（等比）子数列.已知项数为 $n (n \geq 4$ ，且 $n \in N^{*})$ 的等差数列 $\{b_{n}\}$ 的首项 $b_{1} = \sqrt{2}$ ，公差 $d = 2$ .

(1)、写出数列 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{6}$ 的所有3阶等差子数列；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；

(3)、记数列 $\{b_{n}\}$ 的3阶和4阶等差子数列个数分别为 $A, B$ ，求证： $A \leq 2 B$ .

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (t, 2)$ 是 $C$ 上的一点，且 $|M F| = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ （其中 $x_{1} < x_{2}$ ）是 $C$ 上异于 $M$ 的两点， $∠ A M B$ 的角平分线与 $x$ 轴垂直， $N$ 为线段 $A B$ 的中点.
（i）求证：点 $N$ 在定直线上；
（ii）若 $△ M A B$ 的面积为6，求点 $A$ 的坐标.

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3、已知函数 $f (x) = 2 x - a ln x (a \in R), g (x) = - x^{2} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x \in (1, + \infty)$ ，使得函数 $f (x) \leq g (x)$ 成立，求证： $a > 5 e$ .
参考数据： $7.3 < e^{2} < 7.4, 20 < e^{3} < 20.1$ .

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4、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为6的正方形，侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D, P C = P D = 5$ ，点 $E, G$ 分别是 $D C, D P$ 的中点，点 $F$ 在棱 $A B$ 上且 $A F = 3 F B$ .

(1)、求证： $F G$ $∥$ 平面 $B P E$ ；

(2)、求直线 $F G$ 与平面 $P B C$ 所成的角的正弦值.

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(b + c - a) (b + c + a) = b c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上一点， $∠ B A D = 3 ∠ C A D, A C = 4, A D = \sqrt{3}$ ，求 $sin B$ .

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6、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, A D = A A_{1} = 1$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} C_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ ，平面 $M A B$ 与底面 $A B C D$ 的夹角为 $α$ ，平面 $M B C$ 与底面 $A B C D$ 的夹角为 $β$ ，当 $α + β$ 最小时， $λ =$ .

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7、已知直线 $y = 2 x - m$ 与圆 $C : {(x - m)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点，写出满足“ $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ”的实数 $m$ 的一个值：.

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8、若 ${(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ .

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9、定义在 $[0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (\frac{3 a x}{x^{2} + a})$ ，其值域是 $M$ .若对于任何满足上述条件的 $f (x)$ 都有 $\{y ∣ y = f (x), x \in [0, 1]\} = M$ ，则实数 $a$ 的取值必可以为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 在第一象限交于点 $P$ ，延长线段 $P F_{2}$ 交 $C$ 于点 $Q$ .若 $|P F_{2}| = 2 |Q F_{2}|$ ，则（）

A、 $|Q F_{2}| + |P F_{1}| = |Q F_{1}|$ B、 $△ P Q F_{1}$ 的面积为 $\frac{4 a^{2}}{3}$ C、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、直线 $Q F_{1}$ 的斜率为 $- \frac{2}{11}$

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11、下列说法正确的是（）

A、样本数据 $20, 19, 17, 16, 22, 24, 26$ 的下四分位数是17 B、在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11 C、若随机变量 $X \sim B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $P (X = 2) = \frac{8}{243}$ D、若随机变量 $X \sim N (4, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (x \geq 2) = 0.8$ ，则 $P (x > 6) = 0.2$

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12、《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设 $x$ 为…”，再根据问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程 $a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} = 0$ .设 $f (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} (n \in N)$ ，若 $f (2) = 5 \times 2^{n + 1} - 3 n - 8$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $\frac{3 n^{2} + 4 n}{2}$ B、 $\frac{3 n^{2} + 11 n}{2}$ C、 $\frac{3 n^{2} + 5 n + 4}{2}$ D、 $\frac{3 n^{2} + 7 n + 4}{2}$

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13、将数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 随机填入 $3 \times 3$ 的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（）

A、 $\frac{8}{9!}$ B、 $\frac{12}{9!}$ C、 $\frac{24}{9!}$ D、 $\frac{48}{9!}$

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14、已知四面体 $P - A B C$ 的每条棱长都为2，若球 $O$ 与它的每条棱都相切，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $2 π$

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15、已知 $sin (α + β) = 3 cos (α - β), tan α tan β = - \frac{1}{5}$ ，则 $tan α + tan β =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- 5$ C、 $\frac{12}{5}$ D、12

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16、嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} + e^{- \frac{x}{a}}) (a > 0)$ 的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的最大值是 $a$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增 D、方程 $f (x) = 2 a$ 有2个实数解

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (λ, - 1), \vec{c} = (μ, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{c})$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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18、在复平面内，复数 $z_{1}$ 对应的点和复数 $z_{2} = 1 + 2 i$ 对应的点关于实轴对称，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、 $- 3 + 4 i$ B、 $- 3 - 4 i$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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19、已知集合 $U = {x ∣ 1 < x < 9, x \in N}, ∁_{U} A = {4, 5, 6}$ ，则（）

A、 $2 \in A$ B、 $3 \notin A$ C、 $6 \in A$ D、 $7 \notin A$

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20、我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对 $(a_{1}, a_{2})$ 表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组 $(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot a_{n})$ 称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot a_{n})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot b_{n})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot a_{n}) \cdot (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot b_{n}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n}$ ； $|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2}}$ .已知向量 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot a_{n})$ 满足 $a_{n} = n$ ，向量 $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot b_{n})$ 满足 $b_{n} {=2}^{n}$

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, \cdot \cdot \cdot c_{n})$ ，其中 $c_{n} = \ln \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ .
（i）求证： $c_{n} > \frac{1}{n + 1}$ ；
（ii）当 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ 时，证明： $|\vec{c}| > \sqrt{\frac{n}{2 n + 4}}$ .

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