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相关试卷

1、函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 相邻两个最高点之间的距离为 $π, (\frac{5 π}{12}, 0)$ 为 $f (x)$ 的对称中心，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x)$ 在 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上存在极值点 B、方程 $g (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$ 所有根的和为 $\frac{4 π}{3}$ C、若 $g (x + m)$ 为偶函数，则正数 $m$ 的最小值为 $\frac{π}{12}$ D、若 $g (\frac{λ}{2} x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上无零点，则正数 $λ$ 的取值范围为 $(0, \frac{4}{3}] \cup [5, \frac{16}{3}]$

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2、如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点 $A, B, C, D$ 在同一个平面内，如果四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 与 $D F$ 所成角大小为 $\frac{π}{3}$ B、二面角 $A - E B - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、此八面体一定存在外接球 D、此八面体的内切球表面积为 $\frac{8 π}{3}$

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3、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是双曲线右支上一点，点 $F_{1}$ 关于 $∠ F_{1} P F_{2}$ 平分线的对称点也在此双曲线上，且 $cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{9}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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4、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $2 a_{1} + a_{2} = a_{3}$ ”是“ $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F, G$ 分别满足 $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A D}, \vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ，若 $E F ⊥ E G$ ，则（）

A、 $| \vec{b} | = \frac{3}{4} | \vec{a} |$ B、 $|\vec{b}| = |\vec{a}|$ C、 $| \vec{b} | = \frac{3}{2} | \vec{a} |$ D、 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$

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6、袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到红球的概率分别为 $p_{1}, p_{2}$ ，则（）

A、 $p_{1} = p_{2}$ B、 $p_{1} < p_{2}$ C、 $p_{1} > p_{2}$ D、 $p_{1} > p_{2}$ 或 $p_{1} < p_{2}$

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7、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} E F$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ C、平面 $B_{1} E F$ $∥$ 平面 $A_{1} C C_{1}$ D、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B_{1} D D_{1}$

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8、已知 $f (x) = (3 x + 1) (x - a) (3 x - 1) + {log}_{3} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ 是奇函数，则常数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $1$

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9、设集合 $A = \{y| y = \log_{2} x, x > \frac{1}{2}\}$ ， $B = \{y| y = \frac{1}{2^{x}}, x > 0\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = (- 1, 1)$ B、 $A \cup B = B$ C、 $A \cap (∁_{R} B) = [1, + \infty)$ D、 $A \cap B = B$

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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11、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3} ， \sqrt{6})$ ，且 $Γ$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、如图，过原点 $O$ 作互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交双曲线于 $A$ ， $B$ 两点和 $C$ ， $D$ 两点， $A$ ， $D$ 在 $x$ 轴同侧．
①求四边形 $A C B D$ 面积的取值范围；
②设直线 $A D$ 与两渐近线分别交于 $M$ ， $N$ 两点，是否存在直线 $A D$ 使 $M$ ， $N$ 为线段 $A D$ 的三等分点，若存在，求出直线 $A D$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n} - n}{3 a_{n} - 4} = \frac{1}{2}$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n} {log}_{3} (a_{n} - 1)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求使得 $T_{2 n} > 2024$ 的最小正整数 $n$ .

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13、如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形， $A D = 4$ ， AB=2， $A C \cap B D = O$ ， $S O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S O = \sqrt{3}$ ， $\overset{⃑}{B F} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{F C}$ ， E是SA的中点．

(1)、求直线EF与平面SCD所成角的正弦值；

(2)、在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF $⊥$ 平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $N (\sqrt{2}, 0)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 的倾斜角为锐角， $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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15、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $D$ 是棱 $B C$ 的中点，

(1)、求异面直线 $A B_{1}, D C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $B_{1} - A D - C_{1}$ 的余弦值．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N *)$

(1)、求证：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列，并求出 $a_{n}$ ；

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

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17、已知在平面直角坐标系xOy中， $A (- 3, 0), B (3, 0)$ ，动点P满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = 2$ $，$ 则P点的轨迹Γ为圆，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且 $\vec{A C} = \vec{C D}$ ，则 $|C D| =$ .

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18、九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用 $a_{n}$ 表示解下 $n (n \leq m)$ 个圆环所需的最少移动次数，若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1, n 为偶数 \\ 2 a_{n - 1} + 2, n 为奇数 \end{array}$ ，则解下n（n为偶数）个圆环所需的最少移动次数 $a_{n} =$ .（用含n的式子表示）

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19、已知函数 $f (x) = \sin 2 x - x f^{'} (0)$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ .

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，点 $M (- 2, 0)$ ， $P (2, 0)$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 与 $A, B$ 两点，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，下列说法正确的有（）

A、 $y_{1} y_{2} = - 8$ B、 $|A B|$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{A P} + \frac{1}{B P} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $∠ A M P = ∠ B M P$

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