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相关试卷

1、设 $C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ 被9除所得的余数为 $m =$ ；则 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中的常数项为.

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2、若事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) =$ .

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3、已知函数 $f (x) = ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 的图象在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为2 C、 $f (\frac{1}{x}) + f (x) = 0$ D、 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是 $C$ 上任意一点，则（）

A、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 C、 $|P F_{1}|$ 的最小值为2 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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5、将函数 $f (x) = 2 sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的（）

A、 $g (x) = - 2 cos 2 x$ B、 $g (x)$ 的最大值为 $2$ ，图象关于直线 $x = - \frac{3 π}{2}$ 对称 C、 $g (x)$ 在 $(- \frac{3 π}{8}, \frac{π}{8})$ 上单调递增，为奇函数 D、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 对称

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6、我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则 $cos α cos (π - β) =$ （）

A、 $cos 18^{\circ}$ B、 ${cos}^{2} 36^{\circ}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7、已知函数 $f (x) = ln (a x + 3)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq a < 0$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $a < 0$ D、 $a \geq - 1$

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8、已知某圆台上､下底面半径（单位： $cm$ ）分别为1和4，高（单位 $: cm$ ）为3，则该圆台的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）是（）

A、 $\frac{17 π}{3}$ B、 $7 π$ C、 $21 π$ D、 $39 π$

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9、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的两个单位向量，若向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10、声音的等级 $f (x)$ (单位：dB)与声音强度x(单位： $ω / m^{2}$ )满足 $f (x) = 10 \times \lg \frac{x}{10^{- 12}}$ . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB. 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 $10^{8}$ 倍，则一般说话时声音的等级约为（）

A、120dB B、100dB C、80dB D、60dB

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11、某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩 $X$ 服从正态分布 $N (70, 10^{2})$ ，则抽测成绩在 $[80, 90]$ 内的学生人数大约为（）（若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < ξ < μ + δ) = 0.6827, P (μ - 2 δ < ξ < μ + 2 δ) = 0.9545$ ）

A、6828 B、5436 C、4773 D、2718

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12、已知复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = 2 - 4 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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13、设集合 $A = {x ∣ x < 2}, B = {x ∣ - 2 < x < 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ x < 3}$ B、 ${x ∣ x < 2}$ C、 $\{x ∣ x > - 2\}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$

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14、如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内， $∠ A O B = 60 °$ .
（1）若 $A B$ 过点 $M (3, \sqrt{3})$ ，当 $△ O A B$ 的面积取最小值时，求直线 $A B$ 的斜率；
（2）若 $A B = 4$ ，求 $△ O A B$ 的面积的最大值；
（3）设 $O A = a, O B = b$ ，若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 4$ ，求证：直线 $A B$ 过一定点，并求出此定点坐标.

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15、已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和 $(- \sqrt{3}, 3)$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、若线段 $A B$ 的端点 $A (4, - 2)$ ，端点B在圆C上运动，求线段 $A B$ 的中点M的轨迹方程.

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16、在如图所示的几何体中，平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A C B = 90 °$ ， $E F ∥ B C$ ， $A C = B C = \sqrt{2}$ ， $A E = E C = 1$ ．

(1)、求证：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B C E F$ ；

(2)、求三棱锥 $D - A C F$ 的体积．

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17、已知三角形 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且这些边和角的关系满足 $2 \cos A (b \cos C + c \cos B) = a$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，且 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18、空间四边形ABCD中， $A B = 2, B C = C D = 1, A D = 3$ ，且异面直线AD与BC成 $60 °$ ，异面直线AB与CD所成角的正切值为.

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19、已知幂函数 $f (x)$ 过点 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $f (a + 1) < f (3 - 2 a)$ ，则实数a的取值范围是.

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20、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若 $\sin θ + \cos θ = \frac{3}{5} \sqrt{5}$ ，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为．

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