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相关试卷

1、已知函数 $y = f (x)$ ，若存在常数 $k (k > 0)$ ，使得对定义域 $D$ 内的任意 $x_{1}, x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}|$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是定义域 $D$ 上的“ $k -$ 利普希兹条件函数”.

(1)、判断函数 $y = x^{2} + 1$ 是否为定义域 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上的“ $1 -$ 利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；

(2)、若函数 $y = \sqrt{x}$ 是定义域 $[1, 4]$ 上的“ $k -$ 利普希兹条件函数”，求常数 $k$ 的最小值；

(3)、是否存在实数 $m$ ，使得 $y = \frac{m}{x - 1}$ 是定义域 $[2, + \infty)$ 上的“ $1 -$ 利普希兹条件函数”，若存在，求实数 $m$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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2、随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）和车流密度 $x$ （单位：辆/千米）所满足的关系式： $v = \{\begin{matrix} 60, 0 < x \leq 30 \\ 80 - \frac{k}{150 - x}, 30 < x \leq 120 \end{matrix} (k \in R)$ .研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.

(1)、若车流速度 $v$ 不小于40千米/小时，求车流密度 $x$ 的取值范围；

(2)、隧道内的车流量 $y$ （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 $y = x \cdot v$ ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

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3、设命题 $p : \forall x \in [0, 1]$ ，不等式 $2 x - 2 \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立；命题 $q : \exists x \in [- 1, 1]$ ，使得不等式 $x^{2} - x - 1 + m \leq 0$ 成立.

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若命题 $p 、 q$ 有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.

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4、已知非空集合 $A = {x ∣ 3 a - 1 < x < a + 3}, B = \{x ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求 $a$ 的取值集合.

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (2) = 0$ ，若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，有 $\frac{x_{1} \cdot f (x_{1}) - x_{2} \cdot f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为．

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上有最小值 $- 3$ ，则实数 $a$ 的值为．

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7、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的结论中，正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 满足： $f (- x) = f (x)$ B、函数 $f (x)$ 的值域是 $[0, 1]$ C、对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (f (x)) = 1$ D、在 $f (x)$ 图象上不存在不同的三个点 $A 、 B 、 C$ ，使得 $△ A B C$ 为等边三角形

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8、已知 $a > 0, b > 0, a + 2 b = 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b$ 的最大值 $\frac{1}{2}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为1 C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{1}{2 a + b}$ + $\frac{4}{a + 5 b}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$

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9、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x < 0 \\ - x^{2}, x \geq 0 \end{array}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - x + 4, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ x^{2} - x - 4, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (g (a)) \leq 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]\cup[0, 2 \sqrt{2} - 1]$ B、 $[- 1, 2 \sqrt{2} - 1]$ C、 $(- \infty, - 1]\cup[0, 2]$ D、 $[- 1 - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} - 1]$

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10、函数 $f (x) = \frac{|x^{2} - 1|}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11、幂函数 $f (x) = (m^{2} + 5 m - 5) x^{m^{2} - 3 m} (m \in Z)$ 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（）

A、﹣6 B、1 C、6 D、1或﹣6

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12、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} f (x - 1), x \geq 0, \\ x^{3} - 1, x < 0, \end{array}$ 则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 9$ C、 $- 10$ D、 $- 11$

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13、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (a + b) = f (a) + f (b) + 2$ ， $f (1) = 1$ ， $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增．

(1)、求 $f (5)$ 的值．

(2)、证明： $g (x) = f (x) + 2$ 是奇函数．

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f (a x^{2}) - f (x) < f (3 a x) - f (3)$ 的解集中恰有2个整数，求 $a$ 的取值范围．

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14、已知 $f (x) = \frac{b x + c}{9 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 3, 3]$ 上的函数， $f (2) = - \frac{2}{13}$ ，且 $\forall x \in [- 3, 3]$ ，都有 $f (x) + f (- x) = 0$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若对任意 $x \in [- 3, 3]$ ，都存在 $a \in [1, 2]$ ，使得 $f (x) \leq a t^{2} - t + a - \frac{17}{6}$ 成立，求 $t$ 的取值范围．

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15、2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量 $F (x)$ （单位：百套）与时间 $x$ （一个月内的第 $x$ 天）的部分数据如下表所示：
第 $x$ 天
3
8
15
24
$F (x) /$ 百套
5
6
7
8

(1)、请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量 $F (x)$ （单位：百套）与时间 $x$ 的关系，说明你的理由．函数模型：① $F (x) = k x + b$ ；② $F (x) = m \sqrt{x + 1} + n$ ．

(2)、经调查发现，日销售价格 $M (x)$ （单位：元/套）与时间 $x$ （一个月内的第 $x$ 天）的函数关系近似表示为 $M (x) = 40 + \frac{t}{\sqrt{x + 1}}$ （常数 $t > 0$ ）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为 $f (x)$ （单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低．

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16、（1）已知 $0 < a + b < 2$ ， $- 2 < b - a < 1$ ，求 $3 a + b$ 的取值范围；
（2）已知 $a$ ， $b$ 都是正实数，比较 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a}$ 与 $a + b$ 的大小．

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17、已知集合 $A = \{x ∣ a - 4 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 9}{x + 1} \leq 0\}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18、已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的奇函数，且当 $x \in (0, 2)$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则当 $- 2 < x < 0$ 时， $f (x) =$ ，不等式 $f (x - 1) + f (x) < 0$ 的解集是．

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 m x + 3, x \leq 1, \\ m x + 2, x > 1, \end{matrix}$ 对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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20、若函数 $f (x) = 2 x + 1$ ，且 $f (2 m - 1) = 7$ ，则 $m =$ ．

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第 $x$ 天	3	8	15	24
$F (x) /$ 百套	5	6	7	8