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相关试卷

1、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ $=$ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ $<$ ”和“ $>$ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远 $.$ 对于实数 $a, b, c$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a > 0 > b$ ，则 $a b < a^{2}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b, c > d$ ，则 $a - d > b - c$

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2、高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设 $x \in R$ ，用符号 $[x]$ 表示不大于x的最大整数，如 $[1.6] = 1, [- 1.6] = - 2$ ，称函数 $f (x) = [x]$ 叫做高斯函数．给出下列关于高斯函数的说法：① $f (- 3) = - 3$ ②若 $f (a) = f (b)$ ，则 $| a - b | < 1$ ③函数 $y = f (x) - x$ 的值域是 $[- 1, 0)$ ④函数 $y = x f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增．其中错误说法的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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3、若不等式 $a x^{2} + 2 a x - 1 < 0$ 的解集为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < a < 0$ B、 $- 1 \leq a < 0$ C、 $- 1 \leq a \leq 0$ D、 $- 1 < a \leq 0$

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4、若集合 $A = \{x| x > 0\}$ ，下列各式不是“ $a \in A$ ”的充分不必要条件的是（）

A、 $a = 2$ B、 $a > 1$ C、 $0 < a < 1$ D、 $a \geq 0$

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5、已知函数 $y = f (x)$ 在R上是奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、 $\pm 1$

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6、下列函数在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = - | x | + 1$

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7、函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是（）

A、 $x < 1$ 且 $x \neq 0$ B、 $x \leq 1$ 且 $x \neq 0$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$

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8、命题“ $P : \exists x \in R, x^{2} + 2 x + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 3 < 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 3 < 0$

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9、设集合 $A = {x | x - 2 \leq 0}$ ， $B = {1, 2, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{x | x \leq 2\}$ D、 $\{x | 1 \leq x \leq 2\}$

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10、古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值 $k (k > 0, k \neq 1)$ 的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点 $A (0, 6), B (0, 3)$ 、动点 $M$ 满足 $M B = 2 M A$ ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过 $N (0, 4)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于P，Q两点，若 $P$ 为线段NQ的中点，求直线 $l$ 的方程；

(3)、过点 $P (a, a + 3)$ 作曲线 $C$ 的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值.

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11、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $A A_{1} = 2 A B$ ， E，F分别为 $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B E - F$ 的正弦值.

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12、某市为了创建文明城市，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值按照 $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ 分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

(1)、求图中 $x$ 的值；

(2)、求这组数据的中位数；

(3)、若用这组数据估计全市对文明城市创建推行的满意度，从该城市中随机抽取3人，求这三人中恰有一人满意度在80分及以上的概率

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13、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sin \frac{A}{2} + \cos A = 1, a c \sin A + 4 \sin C = 4 c \sin A$ .

(1)、求边长 $a$ 和角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求中线AD的长度.

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (2, 0)$ ，且过点 $(2, \sqrt{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与椭圆 $C$ 交于A，B两点，若AB中点为 $M$ ，求 $k_{O M}$

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15、在四边长均为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形ABCD中， $∠ A = 60^{°}$ 沿对角线BD折成二面角 $A - B D - C$ 为 $90^{°}$ 的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为.

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16、若动直线 $m x + n y - m - n = 0$ 始终与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围是.

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $c \cos A + a \cos C = 6, A C$ 边上的高为4，则 $△ A B C$ 的面积为.

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18、定义两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 之间的一种新运算： $\vec{a} * \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin θ$ ，其中 $θ$ 是向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角，则对于非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、若 $\vec{a} * \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 ${(\vec{a} * \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = | \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) * (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} * \vec{a} + 2 \vec{a} * \vec{b} + \vec{b} * \vec{b}$ D、若 $λ \in R$ ，则 $λ (\vec{a} * \vec{b}) = (λ \vec{a}) * \vec{b}$

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19、已知直线 $l : k x - y + k = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 的最大值为5 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $x_{0} + y_{0}$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离最大为4

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20、已知随机事件A、B，若 $P (\bar{A} B) = P (A \bar{B}) = 0.25$ ，且 $P (A \cup B) = 0.5$ ，则正确的是（）

A、 $P (A) = P (B)$ B、A、B为互斥事件 C、A、B相互独立 D、 $P (B) = 0.25$

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