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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为面 $A_{1} A B B_{1}$ 的中心， $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 和 $D_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} D / /$ 平面 $A_{1} E F$ B、若 $G$ 为 $B_{1} B$ 上的动点，则 $A G + G C_{1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ C、点 $O$ 到直线 $A_{1} E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、平面 $A C D_{1}$ 与平面 $A_{1} E F$ 相交

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2、以下命题正确的是（）

A、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是 $(\frac{8}{3}, - \frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ B、若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点 $O$ ，若 $\vec{O P} = \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + \frac{2}{5} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 C、已知 $\vec{a} = (- 1, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (0, 2, 3)$ ，若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则 $k = - \frac{3}{4}$ D、已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1, 1, 2)$ ， $B (4, 1, 4)$ ， $C (3, - 2, 2)$ ，则AC边上的高BD的长为 $\sqrt{13}$

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3、已知二面角 $α - l - β$ 的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面 $α, β$ 内，且它们都垂直于l．若 $A B = 5, A C = 3, B D = 6, C D = 2 \sqrt{13}$ ，则异面直线AC与BD所成角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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4、向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件 $A$ 表示两次点数之和小于8，事件 $B$ 表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件 $A \cap B$ 用样本点表示为（）

A、 ${(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}$ B、 ${(1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1)}$ C、 ${(1, 5), (2, 4), (3, 3)}$ D、 ${(1, 5), (2, 4)}$

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5、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, B B_{1} = 3$ ，则 $\vec{A B_{1}} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、“ $a = 3$ ”是“直线 $l_{1} : y = \frac{1 - a}{2} x - \frac{1}{2}$ 与直线 $l_{2} : y = - \frac{3}{a} x + \frac{1}{a}$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、对于任意空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列说法正确的是（）．

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是钝角 D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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8、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (- 2, - 2, 1)$ ，点 $A (- 1, - 3, 0)$ 在平面 $α$ 内；若点 $B (m, 0, 2 - m)$ 在平面 $α$ 内，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、2

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9、已知直线 $l$ 过点 $A (1, 0)$ ， $B (2, \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、在平面直角坐标系xOy中，定义： $d (A, B) = |x_{1} - x_{2} |+| y_{1} - y_{2}|$ 为 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点之间的“折线距离”.

(1)、已知 $O (0, 0)$ ，动点 $M (x, y)$ 满足 $d (O, M) = 1$ ，求动点M所围成的图形的面积；

(2)、已知Q是直线 $A x + B y + C = 0$ 上的动点，对于任意点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，求证： $d (P, Q)$ 的最小值为 $\frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{max \{|A|, |B|\}};$

(3)、已知E是函数 $y = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$ 上的动点，F为函数 $y = 6 - 2 x$ 上的动点，求 $d (E, F)$ 的最小值.

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11、已知直线l是过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的切线.

(1)、已知椭圆C的切线l过 $(4, 0)$ ，求切线l的方程；

(2)、求两焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 到直线l的距离之积；

(3)、若圆心在原点的圆与直线l也相切，且与椭圆C相交于点Q，若P，Q都在第一象限，求 $△ O P Q$ 面积的最大值.

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A D = 2 B C = 2 C D = 2$ ， $A D / / B C$ ， $A P = 1.$ 点 $E$ 为线段 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $F$ 为线段 $P B$ 上一点，且 $\vec{P F} = λ \vec{P B}$ ， $λ$ 为何值时，直线 $D F$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{30}$ ?

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13、已知圆心在直线 $x - y + 3 = 0$ 上的圆C经过两点 $M (0, 2)$ 和 $N (1, 3) .$

(1)、求圆C的方程；

(2)、设点 $Q (a, 0) (a > 0)$ ，若圆C上存在点P满足 $|P Q| = \sqrt{2} |P O|$ ，求实数a的取值范围.

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14、一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的5个小球，其中有3个黑球 $($ 标号为1、2和 $3)$ ， 2个白色球 $($ 标号为4和 $5) .$ 若一次性从盒子中取出2个小球.

(1)、写出试验的样本空间；

(2)、求取出的小球恰好是1个黑球和1个白球的概率.

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15、已知正四面体 $A - B C D$ 的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足 $A E = C F$ ，则线段EF长度的最小值为.

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16、若函数 $f (x) = cos (2 x + φ) (0 < φ < 2 π)$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位后在区间 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递减，则 $φ =$ .

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17、若A，B为两个相互独立的事件， $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.6$ ，则 $P (\bar{A} B) =$ .

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其一条渐近线为 $y = x$ ，直线l过点 $F_{2}$ 且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为 $△ A F_{1} F_{2}$ 和 $△ B F_{1} F_{2}$ 的内心，则下列选项正确的是（）

A、直线l斜率的取值范围为 $[- 1, 1]$ B、点M与点N的横坐标都为a C、 $△ M N F_{2}$ 为直角三角形 D、 $△ M N F_{2}$ 面积的最小值为 $(3 - 2 \sqrt{2}) a^{2}$

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19、已知直线 $l : k x + y + 2 k - 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（）

A、直线l恒过定点 $(- 2, 1)$ B、若圆C关于直线l对称，则 $k = 1$ C、若直线l与圆C相切，则 $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、当 $k = 1$ 时，取y轴上一点 $E (0, 3)$ ，则 $|E P| + |P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{29} - 1$

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20、从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在 $50 ~ 650 k W \cdot h$ 之间，进行适当分组后 $($ 每组为左闭右开的区间 $)$ ，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有（）

A、 $a = 0.0022$ B、本组样本的众数为250 C、本组样本的第45百分位数是300 D、用电量落在区间 $[150, 550)$ 内的户数为82

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