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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $f (x)$ 同时满足以下两个条件：（i） $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ；（ii） $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为 $(0, + \infty)$ 的四个函数：
① $f (x) = \frac{1}{x}$ ；
② $f (x) = x^{2}$ ；
③ $f (x) = - \sqrt{x}$ ；
④ $f (x) = - x^{2} - 3 x$ ．
其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是．

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2、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x, - 3 \leq x \leq a \\ \frac{1}{x}, x > a \end{array}$ ，若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 的值域是；若 $f (x)$ 的值域是 $[- 1, 3]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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3、能够说明“若 $a > b > c$ ，则 $a b > c^{2}$ ”是假命题的一组实数 $a, b, c$ 的值依次为．

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4、设集合 $M = {1, a, a^{2} - 2 a}$ ，若 $0 \in M$ ，则实数 $a$ 的值为．

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5、函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{3 - x}$ 的定义域为．

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6、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2)$ 为偶函数．当 $x \leq 2$ 时， $f (x) = 2 f (x - 1)$ ，且当 $x \in (- 1, 0]$ 时， $f (x) = (x + 1) x$ ．对 $\forall x \in [m, + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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7、2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过15 $m^{3}$ 的部分
2.07元/ $m^{3}$
超过15 $m^{3}$ 但不超过21.67 $m^{3}$ 的部分
4.07元/ $m^{3}$
超过21.67 $m^{3}$ 的部分
6.07元/ $m^{3}$
若某户居民希望本月缴纳的水费不超过 $51.4$ 元，则此户居民本月用水最多为（）

A、19 $m^{3}$ B、20 $m^{3}$ C、21 $m^{3}$ D、22 $m^{3}$

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8、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则 $f (a^{2} - 2 a + 4)$ 与 $f (- 2)$ 的大小关系为（）

A、 $f (a^{2} - 2 a + 4) > f (- 2)$ B、 $f (a^{2} - 2 a + 4) = f (- 2)$ C、 $f (a^{2} - 2 a + 4) < f (- 2)$ D、不确定

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9、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x$ ， $g (x) = x$ ，对 $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，则当 $m (x)$ 取得最大值时 $x$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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10、已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + 6 > 0$ 的解集为 ${x | - 3 < x < 2}$ ，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $2$

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[0, 2]$ ，则 $f (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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12、下列函数中，在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + 2 x$ D、 $f (x) = | x |$

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13、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$ C、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} < 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} \leq 0$

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14、已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {0, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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15、已知集合 $A = {x | - 2 \leq x - 1 \leq 5}$ 、集合 $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ （ $m \in R$ ）.

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p$ ： $x \in A$ ；命题 $q$ ： $x \in B$ ，若命题 $p$ 是命题 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、若实数m， $n > 0$ ，满足 $2 m + n = 1$ ，以下选项中正确的有（）

A、mn的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{m + 1} + \frac{9}{n + 2}$ 的最小值为 $5$ D、 $4 m^{2} + n^{2}$ 最小值为 $\frac{1}{2}$

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17、已知集合 $M = \{0, 1, 2\}$ ， $N = \{x |x^{2} - 3 x < 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 3\}$ D、 $\{x |0 < x < 3\}$

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18、设 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} - f (- x), x \geq 0 \\ f (x), x < 0 \end{matrix}$ ，则不等式 $g (x) \leq 2 + x$ 的解集为.

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19、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为开区间 $I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线 $l$ 与 $y = f (x)$ 的图像只有唯一的公共点，则称 $y = f (x)$ 为“ $L$ 函数”，切线 $l$ 为一条“ $L$ 切线”．

(1)、判断 $y = x - 1$ 是否是函数 $y = ln x$ 的一条“ $L$ 切线”，并说明理由；

(2)、设 $g (x) = e^{2 x} - 6 x$ ，求证： $y = g (x)$ 存在无穷多条“ $L$ 切线”；

(3)、设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1 (0 < x < c)$ ，求证：对任意实数 $a$ 和正数 $c ， y = f (x)$ 都是“ $L$ 函数”

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20、记代数式 $M = {log}_{a} (|x - a^{2}| + |x - 2 a + 1| - 9), N = {(- 1 - x)}^{\frac{1}{6}} + {(4 + x)}^{\frac{3}{8}}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求使代数式 $M$ 有意义的实数 $x$ 的集合；

(2)、若存在实数 $x$ 使得代数式 $M + N$ 有意义，求实数 $a$ 的取值范围.

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每户每月用水量	水价
不超过15 $m^{3}$ 的部分	2.07元/ $m^{3}$
超过15 $m^{3}$ 但不超过21.67 $m^{3}$ 的部分	4.07元/ $m^{3}$
超过21.67 $m^{3}$ 的部分	6.07元/ $m^{3}$