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相关试卷

1、1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge．对四元数 $u = a + b i + c j + d k$ ， $a, b, c, d \in R$ 的单位 $i, j, k$ ，其运算满足： $i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1$ ， $ij = k$ ， $jk = i$ ， $ki = j$ ， $ji = - k$ ， $kj = - i$ ， $ik = - j$ ；记 $\bar{u} = a - b i - c j - d k$ ， $N (u) = u \bar{u} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ ， $|u| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}}$ ，定义 $u^{- 1} = \frac{1}{u}$ ，记所有四元数构成的集合为 $V$ ，则以下说法中正确的有（）

A、集合 $\{1, i, j, k\}$ 的元素按乘法得到一个八元集合 B、若非零元 $u, v \in V$ ，则有： $u^{- 1} v u = v^{- 1}$ C、若 $u, v \in V$ ，则有： $N (u v) = N (u) N (v)$ D、若非零元 $u \in V$ ，则有： $u^{- 1} = \frac{\bar{u}}{|u^{2}|}$

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2、已知 $\{cos α, cos 2 α, cos 3 α\} = \{sin α, sin 2 α, sin 3 α\}$ ，则 $α$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $- \frac{3 π}{8}$ C、 $- \frac{2 π}{7}$ D、 $- \frac{π}{14}$

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3、已知 $m, n \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ，若 $\log_{m} 2 = \frac{1}{1 - 2 a}, \log_{n} 2 = \frac{1}{a^{2}}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a = 2$ ，则 $m n = 2$ B、若 $a > 2$ ，则 $m n > 2$ C、若 $m n = 1$ ，则 $a = 1$ D、若 $m n > 1$ ，则 $a > 1$

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4、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c}) = \vec{0}$ ，则 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ C、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、向量 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 垂直

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5、设 $a = \tan 0.21$ ， $b = \ln 1.21$ ， $c = \frac{21}{22}$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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6、若数列 $\{a_{n}\}$ 为正项等比数列， $a_{3} = 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为公差为6，首项为1的等差数列，则数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 前5项和的最小值为（）

A、 $\frac{187}{4}$ B、 $\frac{167}{4}$ C、 $\frac{147}{4}$ D、65

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7、已知设 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，则 $| (x - 3) + (y + 3) i | = 2$ ，则 $| z + 1 |$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8、若 $A (1, 0)$ ， $B (0, b)$ ， $C (- 2, - 2)$ 三点共线，则 $b =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9、由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（）个元素

A、15 B、16 C、17 D、18

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10、已知事件A，B满足 $P (A) = 0.6$ ， $P (B) = 0.2$ ，则下列说法正确的是（）

A、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = 0.8$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = 0.6$ C、若A与B相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.32$ D、若 $P (A \cup B) = 0.92$ ，则A与B相互独立

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11、设 $P$ 是坐标平面 $x O y$ 上的一点，曲线 $Γ$ 是函数 $y = f (x)$ 的图象．若过点 $P$ 恰能作曲线 $Γ$ 的 $k$ 条切线 $(k \in N)$ ，则称 $P$ 是函数 $y = f (x)$ 的“ $k$ 度点”．

(1)、判断点 $O (0, 0)$ 与点 $A (2, 0)$ 是否为函数 $y = \ln x$ 的1度点，不需要说明理由；

(2)、已知 $0 < m < π$ ， $g (x) = \sin x$ ．证明：点 $B (0, π)$ 是 $y = g (x) (0 < x < m)$ 的0度点；

(3)、求函数 $y = x^{3} - x$ 的全体2度点构成的集合．

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x}{4 x^{2} + 16}, x \geq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{|x - a|}, x < 2 \end{matrix}$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, + \infty)$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty, 2)$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则实数a的取值范围为.

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13、已知集合 $A$ 满足 ${1, 2} \subseteq A ⫋$ ${1, 2, 3, 4, 5}$ ，且 $3 \notin A$ ，则满足条件的集合 $A$ 有（）

A、2个 B、4个 C、8个 D、16个

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14、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $(sin A - sin B) (b + \sqrt{3}) = c (sin B + sin C)$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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16、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $b = 4 \sqrt{2}$ ，则 $∠ B$ 等于（）

A、45°或135° B、135° C、45° D、30°

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17、某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

(1)、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)、为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入 $\frac{1}{6} (x^{2} - 600)$ 万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 $\frac{x}{5}$ 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 $a$ 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.

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18、已知 $x$ 的不等式： $a x^{2} - 2 \geq 2 x - a x$ ．

(1)、 $a = 1$ ，求不等式的解集．

(2)、 $a \in R$ ，求不等式的解集．

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19、已知集合 $A = \{x |\frac{2 x - 5}{x + 1} < 1\}$ ， $B = \{x |- k < x < 2 k + 1\}$ .

(1)、若 $A \cap B = A$ ，求实数k的取值范围；

(2)、已知命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.

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20、（1）比较 $3 x^{2} - x + 1$ 与 $2 x^{2} + x - 1$ 的大小；
（2）已知 $c > a > b > 0$ ，求证： $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ ．

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