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1、下列说法正确的有（）

A、“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} - x + 1 \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} - x + 1 > 0$ ” B、若命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 4 x + m = 0$ ”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $(4, + \infty)$ C、若 $a, b, c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” D、已知 $a > 1$ ，则 $a + \frac{16}{a - 1}$ 的最小值为9

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C // A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A D = 2 D C = 2 C B = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $∠ P A B = 60 °$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值.

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3、某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；

(2)、现从技术参数位于区间 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ 的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件 $A =$ “这3件产品中技术参数位于区间 $[40 ， 50)$ 内的产品至多1件”，事件 $B =$ “这3件产品中技术参数位于区间 $[50 ， 60)$ 内的产品至少1件”，求事件 $A \cap B$ 的概率.

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4、如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ E A D = 60^{\circ}$ .四边形 $C D E F$ 为矩形.在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D$ .

(1)、点 $G$ 在线段 $B E$ 上，且 $\overset{⃑}{B G} = μ \overset{⃑}{B E}$ ，是否存在实数 $μ$ ，使得 $A G / / D F$ ？若存在，求出 $μ$ 的值；若不存在，请说明理由.

(2)、若 $P$ 为线段 $D F$ 的中点，求直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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5、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则 $| \overset{⃑}{A C_{1}} | =$ .

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6、正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) =$ .

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7、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A、几何体 $A_{1} B C_{1} - A C D_{1}$ 的外接球半径 $r = \sqrt{2}$ B、 $A_{1} M //$ 平面 $A C D_{1}$ C、异面直线 $C D$ 与 $A_{1} M$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、面 $A_{1} D M$ 与底面 $A B C D$ 所成角正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}]$

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E ､ O$ 分别是 $A_{1} B_{1} ､ A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 满足 $\overset{⃑}{A P} = \frac{3}{4} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{A D} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $A$ 到直线 $B E$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、点 $O$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、平面 $A_{1} B D$ 与平面 $B_{1} C D_{1}$ 间的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{25}{36}$

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9、下列说法正确的有（）

A、若 $A$ ， $B$ 为对立事件，则 $P (A) + P (B) = 1$ B、若 $A$ ， $B$ 为互斥事件，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ C、若 $P (A) = P (B)$ ，则 $A$ ， $B$ 相互独立 D、对于任意事件 $A$ ， $B$ ，有 $P (A B) = P (A) P (B)$

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10、已知 $A (2, 1, 3)$ ， $B (2, - 2, 6)$ ， $C (3, 6, 6)$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, - 1, 1)$ B、 $(0, - \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $(0, \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ D、 $(0, 1, - 1)$

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11、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $O M = 2 M A$ ， $B N = N C$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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12、关于空间向量，以下说法不正确的是（）

A、若两个不同平面α，β的法向量分别是 $\vec{u} ， \vec{ν}$ ，且 $\vec{n} = (1 ， 2 ， - 2) ， \vec{ν} = (2 ， 1 ， 2)$ ，则 $α ⊥ β$ B、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1 ， 0 ， 3)$ ，平面α的法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 0 ， \frac{2}{3})$ ，则直线l//α C、若对空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

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13、在空间直角坐标系下，点 $P (- 1, 5, 2)$ 关于 $y O z$ 平面的对称点的坐标为（）

A、 $(- 1, 5, 2)$ B、 $(1, 5, - 2)$ C、 $(1, 5, 2)$ D、 $(- 1, - 5, - 2)$

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14、已知直线 $l : \sqrt{3} x + y + 3 = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $l$ 的法向量为 $(\sqrt{3}, - 1)$ C、直线 $l$ 的方向向量为 $(1, \sqrt{3})$ D、直线 $l$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$

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15、已知 $a > 0, b > 0$ 且 $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为2 B、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、ab的最大值为 1 D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为2

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16、某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军贵阳市场.该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志.贵阳市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为 $G (x)$ 万元， $G (x) = \{\begin{array}{l} 240 - 3 x, 0 < x \leq 20 \\ 50 + \frac{3000}{x + 1} - \frac{6000}{x (x + 1)}, x > 20 \end{array} (x \in N^{*})$ .

(1)、求年利润s（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润 $=$ 销售收入 $-$ 成本）

(2)、当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.

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17、若实数 $x, y$ 满足 $- 2 \leq x \leq 1, 2 \leq y \leq 4$ ，则 $y - 2 x$ 的取值范围是.

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18、设正实数x，y满足 $x + y = 1$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $x y$ 的最小值是 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是4 C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为2

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19、如图中的图象所表示的函数的解析式为（）

A、 $y = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ B、 $y = \frac{5}{2} |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ C、 $y = \frac{5}{2} - |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ D、 $y = 1 - |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$

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20、在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备 $x$ 万台且全部售完，每万台的销售收入 $G (x)$ （万元）与年产量 $x$ （万台）满足如下关系式： $G (x) = \{\begin{matrix} 180 - x, 0 < x \leq 20 \\ 70 + \frac{2000}{x} - \frac{8000}{x (x - 1)}, x > 20 \end{matrix}$ .

(1)、写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）

(2)、当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．

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