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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 内恰有3条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{8}, \frac{15}{8}]$ B、 $[\frac{5}{8}, \frac{9}{8})$ C、 $(\frac{5}{8}, \frac{13}{8}]$ D、 $[\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$

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2、若函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1, e)$ 上存在零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[\frac{1}{e}, 1]$ C、 $(\frac{1}{e} - 1, 1)$ D、 $(1, \frac{1}{e} + 1)$

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3、已知角 $α, β$ 满足 $cos β = \frac{1}{3}, cos α cos (α + β) = \frac{1}{4}$ ，则 $cos (2 α + β) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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4、下列说法错误的是（）

A、某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B、数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C、在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ ，根据小概率 $α = 0.05$ 值的独立性检验 $(x_{0.05} = 3.841)$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = n (n + 2)$ ，则 $a_{66} =$ （）

A、2 B、 $\frac{133}{66}$ C、 $\frac{137}{66}$ D、 $\frac{139}{66}$

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6、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，点 $F$ 满足 $\vec{A_{1} F} = λ \vec{A_{1} B_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ 时， $A C_{1} ⊥$ 平面 $B D F$ B、任意 $λ \in [0, 1]$ ，三棱锥 $F - B D E$ 的体积是定值 C、存在 $λ \in [0, 1]$ ，使得 $A C$ 与平面 $B D F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，平面 $B D F$ 截该正方体的外接球所得截面的面积为 $\frac{56}{19} π$

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7、命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} + x + 1 < 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} + x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \notin R ， x^{2} + x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} + x + 1 < 0$

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8、设命题 $p$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根， $q$ ：关于 $x$ 的方程 $4 x^{2} + (4 m - 2) x + 1 = 0$ 无实数根．

(1)、若 $p$ 为真，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 、 $q$ 有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 5} + \frac{1}{x - 7}$
（1）求函数的定义域；
（2）求 $f (11)$ ， $f (\frac{5}{4})$ 的值；
（3）当 $a > 0$ 时，求 $f (a)$ ， $f (a - 1)$ 的值．

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10、已知 $x > 1$ ，函数 $y = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11、已知命题 $p : \exists x < 1, x^{2} \leq 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \geq 1, x^{2} > 1$ B、 $\exists x < 1, x^{2} > 1$ C、 $\forall x < 1, x^{2} > 1$ D、 $\exists x \geq 1, x^{2} > 1$

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, P A ⊥ P D, A B ⊥ A D, P A = P D$ ， $A B = 1, A D = 2, A C = C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面PAB；

(2)、求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)、在棱AP上是否存在点 $M$ ，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为 $\frac{5 \sqrt{11}}{33}$ ?若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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13、如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 $60$ 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：
分组
人数
频率
$[40, 50)$
$a$
$0.10$
$[50, 60)$
$9$
$x$
$[60, 70)$
$b$
$0.15$
$[70, 80)$
$18$
$0.30$
$[80, 90)$
$15$
$y$
$[90, 100]$
$3$
$0.05$

(1)、分别求出 $a, b, x, y$ 的值，并补全频率分布直方图；

(2)、估计这次环保知识竞赛平均分；

(3)、从成绩在 $[40, 50)$ 和 $[90, 100]$ 的两组学生中按分层抽样的方式抽取 $3$ 人，再从这 $3$ 人中随机抽取 $2$ 人，求抽取的 $2$ 人中成绩都在 $[40, 50)$ 的概率．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 上的中点．

(1)、证明 $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、设 $P A = A B = 2$ ，求三棱锥 $E - P B C$ 的体积．

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15、已知两个点的坐标 $A (1, 2), B (5, 0)$ ．

(1)、求过点 $C (3, 4)$ 且与直线AB垂直的直线 $l$ 的方程；

(2)、若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，求点 $D$ 的坐标．

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a sin B + \sqrt{3} b cos A = 0$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 7$ ，且 $c sin A = \frac{5}{2} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17、已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，现沿 $A C$ 折起，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $A D C$ ，连接 $B D$ ，得到三棱锥 $B - A C D$ ，则其外接球的体积为．

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18、经过点 $A (2, - 1)$ 且与x轴垂直的直线l的方程为．

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19、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E为棱 $D D_{1}$ 的中点， $P$ 为底面正方形 $A B C D$ 内（含边界）的动点，则（）

A、三棱锥 $B_{1} - A_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、直线 $B_{1} E / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、当 $A_{1} P ⊥ B D$ 时，点 $E$ 到平面 $A_{1} A P$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当 $∠ A P A_{1}$ 的正切值为2时，动点P的轨迹长度为 $\frac{π}{4}$

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20、某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（）

A、这14天日促销量的众数是214 B、这14天日促销量的中位数是196 C、这14天日促销量的极差为195 D、这14天日促销量的第80百分位数是243

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分组	人数	频率
$[40, 50)$	$a$	$0.10$
$[50, 60)$	$9$	$x$
$[60, 70)$	$b$	$0.15$
$[70, 80)$	$18$	$0.30$
$[80, 90)$	$15$	$y$
$[90, 100]$	$3$	$0.05$