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相关试卷

1、生物丰富度指数 $d = \frac{S - 1}{ln N}$ 是河流水质的一个评价指标，其中 $S$ ， $N$ 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数 $d$ 越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数 $S$ 没有变化，生物个体总数由 $N_{1}$ 变为 $N_{2}$ ，生物丰富度指数由2提高到3，则（）

A、 $3 N_{2} = 2 N_{1}$ B、 $2 N_{2} = 3 N_{1}$ C、 $N_{2}^{2} = N_{1}^{3}$ D、 $N_{2}^{3} = N_{1}^{2}$

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2、在单位圆中，已知角 $α$ 是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, y)$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为D₁和D₂ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在n个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n$ ， $n \geq 1$ ， $n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“n重覆盖函数”.

(1)、试判断 $g (x) = |x|$ 是否为 $f (x) = x^{2} - 1$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{matrix} |2^{x} - a|, & - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, & x > 1 \end{matrix}$ 为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ 的“2重覆盖函数”，求实数a；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[2] = 2$ ， $[- 1.2] = - 2$ . $h (x) = a x - [a x]$ ， $x \in [0, 2)$ ，若 $h (x)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ， $x \in [0, + \infty)$ 的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

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4、现定义了一种新运算“ $\oplus$ ”：对于任意实数x，y，都有 $x \oplus y = \log_{a} (a^{x} + a^{y})$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、当 $a = 2$ 时，计算 $4 \oplus 4$ ；

(2)、证明： $\forall x$ ， $y$ ， $z \in R$ ；都有 $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$ ；

(3)、设 $m = \log_{a} (x^{2} - 3 a x + 2 a^{2})$ ，若 $f (x) = m \oplus m - \log_{a} 2$ 在区间 $[s, t] (0 < s < t < a)$ 上的值域为 $[\log_{a} t, \log_{a} s]$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、设函数 $f (x) = 7 \cos (4 x - \frac{π}{3}) - 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期，图象的对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间．

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6、已知函数 $f (x) = e^{- x^{2} + 2 a x}$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 既有最大值又有最小值 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, a]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象恒过定点

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7、下列化简正确的是（）

A、 $\sin (2023 π - α) = \sin α$ B、 $\tan (α - 2023 π) = - \tan α$ C、 $\sin (\frac{11 π}{2} + α) = - \cos α$ D、 $\cos (\frac{7 π}{2} - α) = \sin α$

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8、函数 $f (x) = 2^{- |x|}$ 的图象与 $g (x) = |\log_{3}| x ||$ 的图象的交点个数为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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9、 $x$ 是三角形的一个内角，且 $\sin x + \cos x = - \frac{1}{5}$ ，则 $\tan x$ 的值是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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10、已知圆心角为 $72^{°}$ 的扇形的弧长为 $\frac{4 π}{5}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{5}$ B、 $\frac{4 π}{5}$ C、 $\frac{2 π}{5}$ D、 $\frac{π}{5}$

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11、若 $θ = 2025^{°}$ ，则 $θ$ 的终边在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、若函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 上满足 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，定义域为 $[- 2, 2]$ 的 $g (x)$ 为偶函数.

(1)、求证：（i）函数 $f (x)$ 为奇函数；
（ii）函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增；

(2)、若在区间 $[- 1, 1]$ 上 $f (x) + g (x) = - x^{2} + x + 1$ ； $g (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的图象关于点 $(1, 0)$ 对称.求函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的解析式.

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13、二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足对任意的 $x \in R$ ， $x - 1 \leq f (x) \leq x^{2} - x$ 恒成立．

(1)、求证： $f (1)$ 为定值；

(2)、若 $f (0) = - \frac{1}{4}$ ，求二次函数 $f (x)$ 的表达式；

(3)、求 $a + 2 b + 5 c$ 的取值范围．

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14、已知 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，又 $f (2) = 0$ ，则 $\frac{f (x - 1)}{x} < 0$ 的解集为.

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15、某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入 $P$ 与店面经营天数 $x$ 的关系是 $P (x) = \{\begin{array}{l} 300 x - \frac{1}{2} x^{2}, 0 ⩽ x < 300 \\ 45000, x ⩾ 300 \end{array}$ ，则总利润最大时店面经营天数是.

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16、已知奇函数 $f (x)$ 与偶函数 $g (x)$ 的定义域、值域均为 $R$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) + g (x)$ 是奇函数 B、 $f (x) |g (x)|$ 是奇函数 C、 $f (x) g (x)$ 是偶函数 D、 $f (g (x))$ 是偶函数

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17、已知 $b > a > 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $\frac{2 b}{a + b} < 1$ B、 $\frac{2 a b}{a + b} < \frac{a + b}{2}$ C、 $\frac{b + 2}{a + 2} > \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b}$

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18、已知集合 $A = \{x \in R ∣ x^{2} + 1 = 0\}, B = \{\emptyset\}$ ，则（）

A、 $A = \emptyset$ B、 $A = B$ C、 $A \neq B$ D、 $A \subseteq B$

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19、已知函数 $f (x + 1)$ 是偶函数， $\forall x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ 恒成立，设 $a = f (- \frac{1}{2})$ ， $b = f (2)$ ， $c = f (3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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20、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + a x, x < 1 \\ (6 - a) x - a, x \geq 1 \end{array}$ ，满足对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $[2, 6)$ D、 $[2, \frac{7}{3}]$

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