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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

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2、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、以上都有可能

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3、已知平面 $α ⊥$ 平面 $β, α, β$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{1} = (1, 2, 3), \vec{n_{2}} = (0, x, 2)$ ，则实数 $x =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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4、下列方程所表示的直线中，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的是（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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5、命题“ $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 < 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 奇偶性并证明；

(2)、利用定义证明 $y = f (x)$ 在R上单调递增；

(3)、若存在实数 $x \in [1, 3]$ ，使得 $f (k \cdot 4^{x} - 3) + f (2^{x}) > 0$ 成立，求实数k的取值范围.

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7、为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质 $.$ 省环保局于 $2022$ 年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快， $2023$ 年 $2$ 月底测得蒲草覆盖面积为 $36 m^{2}$ ， $2023$ 年 $3$ 月底测得蒲草覆盖面积为 $48 m^{2}$ ，蒲草覆盖面积 $y ($ 单位： $m^{2})$ 与月份 $x ($ 单位：月 $)$ 的关系有两个函数模型 $y = k a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 与 $y = m x^{2} + n (m > 0)$ 可供选择．

(1)、分别求出两个函数模型的解析式；

(2)、若 $2022$ 年年底测得蒲草覆盖面积为 $20 m^{2}$ ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到 $810 m^{2}$ ？ $($ 参考数据： $lg 2 \approx 0.30 ， lg 3 \approx 0.48) .$

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8、已知正数 $x, y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则（）

A、 $8 x y \leq 1$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq 12$ C、 $4 x^{2} + y^{2} \geq \frac{1}{2}$ D、 $x (y + 1) \leq \frac{1}{4}$

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9、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 x + 3}$ 的值域是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ C、 $(0, \frac{1}{4})$ D、 $(0, \frac{1}{4}]$

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10、一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了 $n$ 次.

(1)、已知质点每次向右移动的概率为 $p (0 < p < 1)$ .
①当 $p = \frac{1}{2}, n = 6$ 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了 $n$ 次，分别求出当 $n = 3$ 和 $n = 5$ 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小

(2)、现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 $p_{1}$ 、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 $p_{2}$ ，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含 $p_{1}, p_{2}$ 的式子表示该游戏得分的数学期望；
②若 $p_{1} + p_{2} = 1 ，$ 则当 $p_{1}$ 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求证： $\{b_{n}\}$ 为等差数列.

(2)、求数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - a$ ， $g (x) = (a + 1) x^{2} - (1 + 2 a) x - a + 1 (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上最大值为2，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，求不等式 $f (x) > g (x)$ 的解集.

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13、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x| x < 2 或 x > 3\}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x^{2} - a x + c > 0$ 的解集为 $\{x| - \frac{6}{5} < x < 1\}$ C、 $a - b + c > 0$ D、不等式 $c x + b < 0$ 的解集为 $\{x |x > \frac{5}{6}\}$

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14、已知双曲线 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ ， $B$ 为双曲线上的两点， $O$ 为坐标原点，且四边形 $O F A B$ 为菱形，则双曲线 $M$ 的离心率为.

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15、为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额 $y$ （单位：万元）关于销售利润 $x$ （单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：① $y = k x + b (k > 0)$ ② $y = k \cdot 2^{x} + m (k > 0)$ ③ $y = k {log}_{3} (\frac{x}{3} + 3) + n (k > 0)$

(1)、请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；

(2)、根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？

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16、已知函数 $f (x) = (4 m - m^{2} - 3) x^{2 m}$ 为幂函数，则下列结论正确的为（）

A、 $m = 2$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 为单调递增函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$

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17、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B // D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 中点.

(1)、证明： $B E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F ⊥ A C$ ，求平面 $F A B$ 与平面 $A B P$ 夹角的余弦值.

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18、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则直线 $B_{1} C_{1}$ 到平面 $A_{1} B C D_{1}$ 的距离是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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19、已知点 $A (1, 0)$ ， $B (2, 1)$ ，则直线AB的倾斜角为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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20、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，AC与BD交于点M，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B_{1} M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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