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相关试卷

1、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $O_{1} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过动点 $P$ 分别作圆 $O$ ，圆 $O_{1}$ 的切线 $P A$ ， $P B$ （A， $B$ 为切点），且 $| P A |^{2} + | P B |^{2} = 18$ ，则 $| P A |$ 的最大值为.

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2、已知直线 $l_{1} : (a + 2) x + 3 y + 4 = 0$ ， $l_{2} : x + a y - 4 = 0$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时，直线 $l_{1}$ 的一个方向向量为 $(2, 3)$ B、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相互平行，则 $a = - 3$ 或 $1$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = - \frac{1}{2}$ D、若 $l_{1}$ 不经过第二象限，则 $a \leq - 2$

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3、已知随机事件A，B，C中， $A$ 与 $B$ 相互独立， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (C) = 0.6$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.4 B、0.58 C、0.7 D、0.72

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4、设 $a$ 、 $b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a |a| > b |b|$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知命题p： $\forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 < 0$

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6、设 $m \in R$ ，过定点A的动直线 $x + 2 + m (y - 7) = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则 $|P A| + |P B|$ 的取值范围是.

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7、为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 $A, B$ 两组，每组 $100$ 只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液， $B$ 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记 $C$ 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到 $P (C)$ 的估计值为0.30.

(1)、求乙离子残留百分比直方图中 $a, b$ 的值；

(2)、求甲离子残留百分比的第 $75$ 百分位数；

(3)、估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）

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8、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上，下底面边长分别为1和2，且 $B B_{1} ⊥ D D_{1}$ ，则该棱台的体积为

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9、已知 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，其中向量 $\vec{a} = (sin 2 x, cos2 x), \vec{b} = (\sqrt{3}, 1) (x \in R)$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期以及其在 $[0, π]$ 的单调增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $f (\frac{A}{4}) = \sqrt{3}, a = 2 \sqrt{3}, b = 2$ ，求角 $B$ 的值．

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10、若扇形的面积为 $\frac{3}{8} π$ 、半径为1，则扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $\frac{3}{4} π$ C、 $\frac{3}{8} π$ D、 $\frac{3}{16} π$

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11、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和最值；

(2)、若 $a \leq 0$ ，且一次函数 $y = g (x)$ 的图象和曲线 $y = f (x)$ 相切于 $x = - 1$ 处，求函数 $g (x)$ 的解析式并证明： $g (x) \leq f (x)$ 恒成立．

(3)、若 $a = 1$ ，且函数 $h (x) = f (x) - t (x^{2} - x)$ 在 $x \in (\frac{1}{2}, 2)$ 上有两个极值点，求实数 $t$ 的取值范围．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，侧面 $P A D$ 是正三角形， $M$ 是棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥ D M$ ；

(2)、若二面角 $P - A D - B$ 为 $60^{\circ}$ ，求直线 $D M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与过点 $A (\frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$ ， $B (0, - \sqrt{10})$ 的直线有且只有一个公共点 $T$ ，且双曲线 $C$ 的离心率 $e = \sqrt{6}$ ．

(1)、求直线 $A B$ 和双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C$ 的左、右焦点， $M$ 为线段 $A F_{2}$ 的中点，求证： $∠ M T F_{2} = ∠ T F_{1} A$ ．

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c^{2} = a^{2} + b^{2} + a b$ ， $sin (C - B) = cos A$ ．

(1)、求角 $C$ 和角 $B$ ．

(2)、若边 $B C$ 上的高为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、已知曲线 $y = e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 恰好与曲线 $y = a + ln x$ 相切，则实数 $a$ 的值为．

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16、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1}$ ，点 $M$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（不含端点），则（）

A、过点 $M$ 有且仅有一条直线与直线 $A C$ ， $B_{1} D_{1}$ 都垂直 B、过点 $M$ 有且仅有一条直线与直线 $A C$ ， $B_{1} D_{1}$ 都相交 C、有且仅有一个点 $M$ 满足 $△ M A C$ 和 $△ M B_{1} D_{1}$ 的面积相等 D、有且仅有一个点 $M$ 满足平面 $M A C ⊥$ 平面 $M B_{1} D_{1}$

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17、随机变量 $X$ ， $Y$ 分别服从正态分布和二项分布，且 $X \sim N (2, 1)$ ， $Y \sim B (4, 0.5)$ ，则（）

A、 $P (X \leq 0) = P (X \geq 4)$ B、 $P (Y \leq 0) = P (Y \geq 4)$ C、 $E (X) = E (Y)$ D、 $P (X \leq 2) = P (Y \leq 2)$

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，当 $x = 0$ 或 $x = 1$ 或 $x$ 是无理数时， $f (x) = 0$ ；当 $x = \frac{n}{m}$ （ $n < m$ ， $m$ ， $n$ 是互质的正整数）时， $f (x) = \frac{1}{m}$ ．那么当 $a$ ， $b$ ， $a + b$ ， $a b$ 都属于 $[0, 1]$ 时，下列选项恒成立的是（）

A、 $f (a + b) \leq f (a) + f (b)$ B、 $f (a + b) \geq f (a) \cdot f (b)$ C、 $f (a b) \geq f (a) + f (b)$ D、 $f (a b) \geq f (a) \cdot f (b)$

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19、函数 $f (x) = sin x - cos x cos (\frac{5 x}{2} + \frac{π}{4})$ 在区间 $(- π, 2 π)$ 上的所有零点之和为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、4

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20、已知底面半径为2的圆锥 $S O$ ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥 $S O$ 侧面积的比值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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