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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 < 0\}, B = \{x | |x - \frac{5}{2}| \geq \frac{3}{2}\}$ .

(1)、求 $A \cup B, A \cap ∁_{R} B$ ；

(2)、记关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (2 m + 4) x + m^{2} + 4 m \leq 0$ 的解集为 $M$ ，若 $B \cup M = R$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l_{1} : y = x + b$ 与圆 $O$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别作直线 $l_{2} : x = m (m \in R)$ 的垂线，垂足分别为 $C, D (C, D$ 分别异于 $A, B)$ .

(1)、求实数 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $m = - 4$ ，用含 $b$ 的式子表示四边形 $A B D C$ 的面积；

(3)、当 $b = m - 1$ 时，若直线 $A D$ 和直线 $B C$ 交于点 $E$ ，证明点 $E$ 在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程.

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3、在 $△ A B C$ 中，顶点 $A (2, 3)$ ，点 $B$ 在直线 $l : 3 x - y + 1 = 0$ 上，点 $C$ 在 $x$ 轴上，则 $△ A B C$ 周长的最小值为.

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4、已知圆 $C$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 11 = 0$ ，则圆心 $C$ 的坐标是（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(4, - 2)$

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5、下列选项正确的是（）

A、若直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{e} = (- 1, \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是 $\frac{2 π}{3}$ B、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 垂直”的充要条件 C、“ $a = - 4$ ”是“直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $8 x + a y + 2 - a = 0$ 平行”的充要条件 D、直线 $x sin α - y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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6、设 $△ A B C$ 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b sin A = \sqrt{3} a cos B .$

(1)、求B；

(2)、若 $a = 1, b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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7、《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $A B = 1, O$ 为正八边形的中心，则 $\vec{A B} \cdot \vec{H D} =$ .

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8、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - a x), a \in R$ ，则“ $a \leq 2$ ”是“函数 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、若点 $P (- 1, 2)$ 在圆C： $x^{2} + y^{2} + x + y + m = 0$ 的外部，则m的取值可能为（）

A、5 B、1 C、 $- 4$ D、 $- 7$

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10、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞0，b $>$ 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为．

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11、如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且 $D B = A B = D M = 1$ ， $P B = 2 M D$ ， $D M ⊥$ 平面ABCD， $P B // D M$ ，点N为PC上的动点.

(1)、求证：存在点N，使得 $A M // B N$ .

(2)、求二面角 $A - M P - C$ 的正弦值.

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12、已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $S A ⊥ B D$ ， $S A = A D = \frac{\sqrt{2}}{2} C D$ ， $M$ 是 $S B$ 的中点．

(1)、证明： $M C ⊥ B D$ ；

(2)、若 $S A ⊥ A D$ ， $S A = 2$ ，点 $P$ 是 $S C$ 上的动点，直线 $A P$ 与平面 $A M C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $\frac{S P}{S C}$ ．

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13、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 是钝角 B、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，则可知 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ C、若 $\vec{a}$ 为直线l的方向向量，则λ $\vec{a} (λ \in R)$ 也是直线l的方向向量 D、在四面体 $P - A B C$ 中，若 $\vec{P A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{P C} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{A C} = 0$

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14、拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且存在点 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (x_{0}) (b - a)$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的中值点．试求函数 $g (x) = e^{x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的“中值点” ．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - a}{3^{x} + 1} (a \in R)$ .
（1）若函数 $f (x)$ 为奇函数，求a的值，并求此时函数 $f (x)$ 的值域；
（2）若存在 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求实数a的取值范围.

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16、某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为 $T = 24$ 分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟．

(1)、求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系 $h (t)$ 的解析式；

(2)、在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；

(3)、记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在 $0 \leq t \leq t_{0}$ 这段时间内，H恰有三次取得最大值，求 $t_{0}$ 的取值范围．

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17、已知函数 $f (x) = \log_{a} (2 x - 4) + \log_{a} (5 - x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过点 $P (3, - 2)$ ．

(1)、求a的值及 $f (x)$ 的定义域；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $2^{m} = 3^{n} = t \in (\frac{5}{2}, 3)$ ，比较 $f (2 m)$ 与 $f (3 n)$ 的大小．

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18、已知 $\sin (2 α - β) = \frac{3}{5}, \sin β = - \frac{4}{5}$ ，且 $\frac{π}{2} < α < π, - \frac{π}{2} < β < 0$ ．

(1)、求 $\cos (2 α - β)$ 的值；

(2)、求 $\cos α$ 的值；

(3)、求角 $α - β$ 的大小．

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19、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ||x - 1| \leq 2\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 2}{x + 6} \geq 0\}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、已知集合 $C = \{x |10 - a < x < 2 a + 1\}$ ，若 $(∁_{U} B) \cap C = \emptyset$ ，求a的取值范围．

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且满足 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{2} (1 - x), x \leq 0 \\ f (x - 1) - f (x - 2), x > 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 在 $[- 2024, 2024]$ 上的整数值零点的个数为．

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