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相关试卷

1、杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角判断下列说法正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{6} = x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x + 1$ B、已知 ${(x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{5} {(x + 1)}^{5}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} = 1$ C、已知 ${(1 - 3 x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为 $2^{12}$ D、 $C_{7}^{2} + 4 C_{7}^{3} + 6 C_{7}^{4} + 4 C_{7}^{5} + C_{7}^{6} = C_{11}^{6}$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x ln x, x > 0, \\ - 1, x = 0, \\ x ln (- x) - 2, x < 0. \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x - 1$ 有5个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(1, e)$ D、 $(2, 2 e)$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是各项为正数的等比数列，公比为 $q$ ，在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为 $d_{1}$ ，在 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 $d_{2}$ ， …，在 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数成等差数列，公差为 $d_{n}$ ，则（）

A、当 $0 < q < 1$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递减 B、当 $q > 1$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递增 C、当 $d_{1} > d_{2}$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递减 D、当 $d_{1} < d_{2}$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递增

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4、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，连接 $A F_{2}$ 并延长交椭圆 $C$ 于另一点 $B$ ，若 $|F_{1} B| : |F_{2} B| = 7 : 3$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，作 $A E ⊥ P B$ 于 $E, A F ⊥ P C$ 于 $F$ ，下面结论正确的是（       ）
① $B C ⊥$ 平面 $P A B$              ② $A F ⊥$ 平面 $P B C$
③三棱锥 $A - B C E$ 是鳖臑             ④三棱锥 $A - C E F$ 是鳖臑

A、①③ B、①②④ C、②③ D、①③④

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6、已知 $sin (θ + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ （ $- \frac{2 π}{3} \leq θ \leq \frac{π}{3}$ ），则 $sin (θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、10

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8、已知复数 $z = \frac{a}{1 + i}$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(2, b)$ ，则实数 $a, b$ 的值分别为（）

A、 $4, 2$ B、 $4, - 2$ C、 $- 4, 2$ D、 $- 4, - 2$

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9、集合 $A = \{(x, y) |y = x, x \in R\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x^{2}, x \in R\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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10、设集合 $A$ 是至少有两个元素的实数集，集合 $F (A) = \{z| z = x y, x, y \in A$ 且 $x \neq y\}$ ，称集合 $F (A)$ 为集合 $A$ 的积集．

(1)、当 $A = \{1, 2, 4, 8, 32\}$ 时，写出集合 $A$ 的积集 $F (A)$ ；

(2)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个正实数构成的集合，求其积集 $F (A)$ 中元素个数的最小值；

(3)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个有理数构成的集合，积集 $F (A) = \{- 18, - 2, - \frac{3}{2}, - \frac{1}{6}, 1, 3\}$ ，求集合 $A$ 中的所有元素之和．

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11、已知函数 $f (x) = x |2 a - x| + b x, a \in R$ ．

(1)、当 $b = - 2$ 时，若函数 $f (x)$ 恰有两个不同的零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $b = 2$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = 2$ 时，若存在实数 $a \in [0, 2]$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (2 a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a}{e^{x} + 1}$ 为奇函数．（e为自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ）

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(3)、求不等式 $f (4^{- x}) + f (4 - 5 \times 2^{- x}) \leq 0$ 的解集．

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13、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $2 a + b - 4 a b = 0$ ．

(1)、证明： $a b \geq \frac{1}{2}$ ；

(2)、求 $a + 2 b$ 的最小值．

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14、计算：

(1)、 ${(1 \frac{7}{9})}^{0.5} + \sqrt{{(- 10)}^{2}} - 2 \sqrt{3} \times \sqrt[6]{27} - π^{0} \times {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 ${log}_{5} 125 + lg \frac{1}{1000} + ln \sqrt{e} + 2^{{log}_{2} 3} + \frac{2}{3} {log}_{2} 3 \cdot {log}_{9} 8$ ．

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ - ln(x + 1), x < 0 \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 a f (x) + a - 1 = 0 (a \in R)$ 有四个相异的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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16、在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度 $v$ （单位： $km / s$ ）和所携带的燃料的质量 $M$ （单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量 $m$ （单位：kg）的函数关系式近似满足 $2^{\frac{v}{a}} = b + \frac{M}{m}$ （ $a$ 为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时， $v$ 约等于 $2.9 km / s$ ，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时， $v$ 约等于 $5.8 km / s$ ，则常数 $b$ 的值为．

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17、已知幂函数 $f (x) = (a^{2} + a - 5) x^{a}$ 的定义域是 $R$ ，则 $a =$ ．

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18、已知定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足： $f (x y) = f (x) + f (y) - 4$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 4$ ，则（）

A、 $f (- 1) = 4$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 D、不等式 $f (2) + f (x + 2) < f (x - 1) + 4$ 的解集为 $(- 5, - 2) \cup (- 2, - 1)$

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19、关于函数 $f (x) = ln \frac{x - 3}{x + 1}$ ，下列结论正确的是（）

A、若函数 $g (x) = ln (x - 3) - ln (x + 1)$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一个函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$

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20、已知命题 $p : \forall x \in R, a x^{2} - a x + 1 > 0$ ，则命题 $p$ 成立的一个充分条件可以是（）

A、 $a \in [0, 4)$ B、 $a = 4$ C、 $a \in (0, 4)$ D、 $a = 0$

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