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相关试卷

1、我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a^{2}$ ，其中 $a, c$ 均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线 $C$ ，它的轨迹方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} + λ (x^{2} - y^{2}) = μ$ .

(1)、求参数 $λ, μ$ 的值（用含 $a, c$ 的式子表示）；

(2)、若 $P (x, y)$ 为曲线上一点，求证： $|y| \leq \frac{a^{2}}{2 c}$ ， $|x| \leq \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ ；

(3)、若 $a = c = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，求证：曲线 $C$ 恰经过 $3$ 个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

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2、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2, D$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的余弦值.

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3、已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ ，（ $a > 0$ ）， $g (x) = x^{3} + b x$
（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值
（2）当 $a = 3, b = - 9$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围

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4、设 $[x]$ 表示不超x的最大整数（如 $[2] = 2, [\frac{5}{4}] = 1$ ）．对于给定的 $n \in N^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x} = \frac{n (n - 1) \dots (n - [x] + 1)}{x (x - 1) \dots (x - [x] + 1)}, x \in [1, + \infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}} =$ ；当 $x \in [2, 3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是．

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5、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a, b, c$ 成等比数列且 $f (0) = - 4$ ，则 $f (x)$ 值域为.

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6、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ；

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7、曲线 $C$ 是平面内与三个定点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 和 $F_{3} (0, 1)$ 的距离的和等于 $2 \sqrt{2}$ 的点的轨迹， $P$ 为 $C$ 上一点，则（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、存在点P，使得 $|P F_{3}| = \sqrt{2}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值是1 D、存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为钝角

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 B、 $T_{n}$ 可能为 $2^{n} - 1$ C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n - 1}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{b_{n}^{2}\}$ 是等比数列

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9、有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + c$ ( $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n), c$ 为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本中位数相同 C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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10、有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母 $H$ .你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（）

A、①② B、②③ C、②④ D、④③

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11、设10≤x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10⁴ ， x₅=10⁵ ，随机变量 $ξ_{1}$ 取值x₁、x₂、x₃、x₄、x₅的概率均为0.2，随机变量 $ξ_{2}$ 取值 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 、 $\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ 、 $\frac{x_{3} + x_{4}}{2}$ 、 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$ 、 $\frac{x_{5} + x_{1}}{2}$ 的概率也均为0.2，若记 $D ξ_{1}$ 、 $D ξ_{2}$ 分别为 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ 的方差，则（　　）

A、 $D ξ_{1}$ > $D ξ_{2}$ B、 $D ξ_{1}$ = $D ξ_{2}$ C、 $D ξ_{1}$ < $D ξ_{2}$ D、 $D ξ_{1}$ 与 $D ξ_{2}$ 的大小关系与x₁、x₂、x₃、x₄的取值有关

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12、已知 $a, b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} < 1$ C、 $\lg (a - b) > 0$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$

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13、已知空间向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $\vec{m} - \vec{n} = (1, 2, 3), \vec{m} + \vec{n} = (0, - 2, 1)$ ，则 $| \vec{m} |^{2} - | \vec{n} |^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、0 D、 $- 1$

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14、函数 $f (x) = - 3 tan (2 x - 7)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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15、把函数 $y = ln (x + 1)$ 的图象按向量 $\vec{m} = (2, 0)$ 平移，得到 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $ln (x - 1)$ B、 $ln (x + 3)$ C、 $ln (x + 1) + 2$ D、 $ln (x + 1) - 2$

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16、若集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}, B = \{y | y = x^{2} - 1, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2\}$ B、 $\{0, 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 0, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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17、牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下：设 $r$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点，任取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ，设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1}$ ，并称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值；过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ，设 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值；一直继续下去，得到 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ .一般地，过点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ，记 $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n + 1}$ ，并称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值，称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列.

(1)、若函数 $f (x) = x + ln x$ 的零点为 $r, x_{0} = 1$ .求 $r$ 的2次近似值；

(2)、设 $α, β (α < β)$ 是函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ 的两个零点，数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x)$ 的牛顿数列，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{x_{n} - α}{x_{n} - β} (n \in N^{*}), x_{n} > β$ .
（i）求证：数列 $\{ln c_{n}\}$ 为等比数列；
（ii）证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{c_{i}} < \frac{2}{\ln c_{1}}$ .

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18、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $G$ 为 $E$ 的上顶点，点 $P$ 为椭圆 $E$ 上的一个动点，且三角形 $F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值为1，焦距为2.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、如图，过点 $F_{1}, F_{2}$ 作两直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别与椭圆 $E$ 相交于点 $M, N$ 和点 $A, B$ .
（i）若点 $M, N$ 不在坐标轴上，且 $∠ M G F_{1} = ∠ N G F_{1}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；
（ii）若直线 $l_{1}, l_{2}$ 斜率都存在，且 $M N ⊥ A B$ ，求四边形 $M A N B$ 面积的最小值.

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19、某系统配置有 $2 n - 1$ 个元件（ $n$ 为正整数），每个元件正常工作的概率都是 $p (0 < p < 1)$ ，且各元件是否正常工作相互独立.如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作.现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性.

(1)、当 $n = 3, p = 0.5$ 时，求该系统正常工作的概率；

(2)、现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由.

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 120^{\circ}$ ， $A C = A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $P$ 为线段 $A A_{1}$ 上一点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A A_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $B P C_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ？若存在，求出实数 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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