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相关试卷

1、已知圆C： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 25$ ，点P（1，4），且直线l经过点P．

(1)、若l与C相切，求l的方程；

(2)、若l的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求l被圆C截得的弦长．

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2、设O是坐标原点， $F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若 $∠ P F_{1} Q = 120 °$ ， $| P Q | = \sqrt{3} a$ ，则该椭圆的离心率是．

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3、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积是．

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4、点A（2，1）到直线l： $x - 2 y - 3 = 0$ 的距离是．

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5、棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）

A、记直线AO与直线AB的夹角是α，则 $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 $\sin β = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、记 $| \vec{B P} - x \vec{B C} - y \vec{B D} | (x, y \in R)$ 的最小值为n，则 $n \in [0, \frac{\sqrt{6}}{6}]$ D、记 $\vec{A P}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $m \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |}$ ，则 $m \in [- \frac{\sqrt{6}}{12}, \frac{\sqrt{6}}{12}]$

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6、抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件 $A_{i} =$ “点数为i”，其中 $i = 1, 2, 3, 4$ ，则以下说法正确的是（）

A、若随机事件 $B_{1} =$ “点数不大于3”，则 $A_{1}$ 与 $B_{1}$ 互斥 B、若随机事件 $B_{2} =$ “点数为偶数”，则 $A_{2} \subseteq B_{2}$ C、若随机事件 $B_{3} =$ “点数不大于2”，则 $A_{3}$ 与 $B_{3}$ 对立 D、若随机事件 $B_{4} =$ “点数为奇数”，则 $A_{3} \cup A_{4}$ 与 $B_{4}$ 相互独立

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7、已知复数 $z = 3 - 4 i$ ，以下说法正确的是（）

A、z的实部是3 B、 $| z | = 5$ C、 $\bar{z} = 3 + 4 i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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8、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若直线 $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$ ．设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 共线的向量是（）

A、 $- 2 \vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} - 2 \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} - 2 \vec{c}$

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9、已知 $x \geq 3$ ，则函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、3 D、2

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10、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以下说法正确的是（）

A、若E为 $D D_{1}$ 的中点，则 $B D_{1} ∥$ 平面 $A E C$ B、若E为 $D D_{1}$ 的中点，则 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ C、若E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $A E ⊥ B D_{1}$ D、若E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $C E ∥ B D_{1}$

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11、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 16 = 0$ ，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、外切 B、内切 C、相交 D、外离

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12、已知点 $P (a, 1)$ ， $Q (- 2, - 3)$ ，若 $| P Q | = 5$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、-5 C、1或-5 D、-1或5

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13、如果椭圆的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，那么它的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 2, 0)$ B、 $(0, \pm 2)$ C、 $(\pm \sqrt{2}, 0)$ D、 $(0, \pm \sqrt{2})$

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14、若集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{2, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{2, 4, 6\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{2, 4\}$

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15、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形，PA与底面垂直， $|P A| = 2$ ， $|A B| = 1$ ，动点M在线段PC上，则（）

A、不存在点M，使得 $A C ⊥ B M$ B、 $M B + M D$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球表面积为5π D、点M到直线AB的距离的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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16、16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差： $sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)], cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)]$ ， $sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)], cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)]$ ．
和差化积： $sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, sin α - sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$ ， $cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$ ．
运用上面的公式解决下列问题：

(1)、证明： ${cos}^{2} α - {sin}^{2} β = cos (α + β) cos (α - β)$ ；

(2)、若 $α + β + γ + ω = π$ ，证明： $sin (α + β) sin (α + γ) = sin α sin ω + sin β sin γ$ ；

(3)、若函数 $f (x) = \frac{sin x}{2} + \frac{sin 3 x}{4} + \frac{sin 5 x}{6} + \dots + \frac{sin 99 x}{100}, x \in (0, 2 π)$ ，判断 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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17、已知函数 $f (x) = ln(\sqrt{1 + x^{2}} - x) + x^{3}$ ，函数 $g (x)$ 满足 $\forall x \in R, g (x - 4) + g (- x) = 0$ ，若函数 $h (x) = f (x + 2) - g (x)$ 恰有2025个零点，则所有零点之和为（）

A、 $- 4050$ B、 $- 4048$ C、 $- 2026$ D、 $- 2024$

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18、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} \geq 0$ ，记 $A_{n} = max \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}, B_{n} = min \{a_{n + 1}, a_{n + 2}, \dots\}, d_{n} = A_{n} - B_{n}$ .

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $2, 0, 2, 4, 2, 0, 2, 4, \dots$ ，是一个周期为4的数列（即 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 4} = a_{n}$ ），直接写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为周期数列，证明： $\exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得当 $n > n_{0}$ 时， $d_{n}$ 是常数；

(3)、设 $d$ 是非负整数，证明： $d_{n} = - d (n = 1, 2, 3 \dots)$ 的充分必要条件为 $\{a_{n}\}$ 为公差为 $d$ 的等差数列.

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19、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ D A B = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 1$ ， $P D = \sqrt{2}, B C = 2$ .

(1)、如图1，在侧面 $P D C$ 内能否作一条线段，使其与 $A B$ 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；

(2)、如图2，若 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，证明： $C D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、在（2）的条件下，E为棱 $A P$ 上的点，二面角 $A - B D - E$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，求异面直线 $B E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值.

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20、若直线 $y = a x + b$ 是曲线 $y = \frac{ln x}{x} (0 < x < e)$ 的切线，则 $\frac{b^{2}}{a}$ 的最小值是.

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