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相关试卷

1、若点 $P (1, m)$ 不在函数 $f (x) = x^{3} - 3 m x$ 的图像上，且过点P有三条直线与 $f (x)$ 的图像相切，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{4}] \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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2、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系 $P (t) = P_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{30}}$ ，其中P₀为 $t = 0$ 时该放射性同位素的含量.已知 $t = 15$ 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 $- \frac{3 \sqrt{2} \ln 2}{10}$ ，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（）

A、20天 B、30天 C、45天 D、60天

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3、函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3 x + a （其中 a \in R ）$ 的单调增区间是（）

A、 $(- \infty, - 1), (3, + \infty)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $R$

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4、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{3}{x})}^{'} = 1 + \frac{3}{x}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ C、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$ D、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$

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5、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} + a x + 2$ .

(1)、若 $a = - 4$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $a > 0$ ，不相等的实数 $m, n$ 满足 $f (m) + f (n) = m^{2} + n^{2} + 8$ ，求证： $m + n < 0$ .

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6、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a^{2} - b^{2} = \sqrt{2} a c - c^{2}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 5$ ， $\cos C = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求c．

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7、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 ^{\circ}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，则 $|3 \vec{a} - 2 \vec{b}| =$ .

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 6 x + 9, x > 2 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有四个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < k < 1$ B、 $2 x_{1} + x_{2} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $x_{1} x_{2} + x_{3} + x_{4} = 6$ D、 $3 < x_{1} + 2 x_{2} < \frac{9}{2}$

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9、若函数 $f (x) = sin (ω x + φ), (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的两条相邻对称轴距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的对称中心 C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, π)$ 上单调递增 D、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称轴

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10、已知 $T_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，若 $a_{n} > 0, a_{4} a_{6} = 9$ ，且 $a_{10} = 4, T_{14} =$ （）

A、 $6^{14}$ B、 $12^{7}$ C、 $12^{14}$ D、 $36^{7}$

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11、命题p： $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 6 x + 2 m \geq 0$ ，则“ $m \geq 1$ ”是“p为真命题”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + 2 a x + 2$ 有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $x_{2} - 1 < \frac{1}{x_{1} - 1}$ .

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13、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2, a_{1} = 0, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、证明： $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(3)、求数列 $\{n a_{n} + 2 n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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14、已知 ${(1 + 2 x)}^{m} + {(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}, m, n \in N_{+}, m \leq n$ ，且 $a_{1} - a_{0} = 2$ .

(1)、求 $2 m - n$ ；

(2)、若 $m + 1 = n$ ，求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}$ .

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 在 $x = - 1$ 处取得极大值5.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求与直线 $l : x - 12 y + 3 = 0$ 垂直，并与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线的方程.

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16、3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序.

(1)、共有多少种不同的安排方案?

(2)、若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案?

(3)、若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案?

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17、已知函数 $f (x) = x^{3} + x$ ，若第一象限内的点 $P$ 在曲线 $y = f (x)$ 上，则 $P$ 到直线 $l : 4 x - y - 4 = 0$ 的距离的最小值为.

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18、在集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 的子集中，含有3个元素的子集的个数为.

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19、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{5} + a_{11} + a_{13} = 56$ ，则 $a_{8} =$ .

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20、平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（）

A、这两组平行线有70个交点 B、这两组平行线可以构成140条射线 C、这两组平行线可以构成525条线段 D、这两组平行线可以构成945个平行四边形

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