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相关试卷

1、已知 $sin (α - β) = - \frac{\sqrt{2}}{10} ， \frac{tan α}{tan β} = \frac{3}{4}$ ，则 $sin (α + β) =$ .

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2、已知 $M$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上的一个点， $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点， $O$ 为坐标原点，若 $|M F| = 2$ ，则 $|M O| =$ .

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3、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x)$ 为奇函数， $f (2) = - f (1) \neq 0$ ，且对任意 $x, y \in R, f (x + y) = f (x) f^{'} (y) + f^{'} (x) f (y)$ ，则下列正确的有（）

A、 $f^{'} (1) = - \frac{1}{2}$ B、 $f (9) = 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 1$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f^{'} (k) = - 1$

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4、某同学投掷一枚骰子（一种各个面上分别标有 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 个点的正方体玩具）5次，并将每次向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.若这5个点数的平均数为2，方差小于4，则关于这5个点数，下列正确的有（）

A、极差小于4 B、一定不会出现6 C、众数可能为1 D、中位数可能为3

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5、已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（）

A、圆台的侧面积为 $16 π$ B、圆台的体积为 $26 \sqrt{3} π$ C、母线与底面所成角为 $60^{\circ}$ D、存在相互垂直的母线

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6、设函数 $f (x) = (e^{x} - a) ln (x - 2 b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $e$

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7、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 作 $C$ 的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $△ A F_{1} B$ 为等腰直角三角形，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3$ D、 $\sqrt{10}$

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8、方程 $sin (2 x + \frac{π}{6}) - cos x = 0$ 在 $x \in [0, 4 π]$ 的解的个数为（）

A、10 B、9 C、8 D、4

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9、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = S_{10}, a_{3} + a_{10} = 2$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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11、在复平面内，点 $Z (3, - 4)$ 对应的复数为 $z$ ，则 $|\frac{1 + 2 i}{z}| =$ （）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (0, m)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、 $- 4$

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13、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 9\}$ ，则 $∁_{A} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{- 1, 0, 2, 3\}$ D、 $\{0, 2, 3, 4\}$

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14、已知在 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $M (x_{0}, y_{0})$ 处的切线 $l_{0}$ 为 $\frac{x x_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1$ ，若过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 于 $P, Q$ 两点，已知在点 $P, Q$ 处切线相交于 $G$ .
（1）求 $G$ 点的轨迹方程；
（2）①若过点 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆 $C$ 于 $E, H$ 两点，证明 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| E H |}$ 为定值.
②四边形 $E Q H P$ 的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.

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15、已知 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x$ ， $g (x) = x^{2} - a x - b$ ， $a, b \in R$

(1)、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线重合，分别求 $a$ ， $b$ 的值.

(2)、若 $\forall b \in R$ ， $f (b) - f (a) \geq g (b) - g (a)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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16、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面BB₁C₁C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC₁ ， AB⊥B₁C．

(1)、求证：AO⊥平面BB₁C₁C；

(2)、设∠B₁BC=60°，若直线A₁B₁与平面BB₁C₁C所成的角为45°，求二面角 $A_{1} - B_{1} C_{1} - B$ 的余弦值．

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17、在一次购物抽奖活动中，假设某 $10$ 张奖券中有一等奖券 $1$ 张，可获价值 $50$ 元的奖品；有二等奖券 $3$ 张，每张可获价值 $10$ 元的奖品；其余 $6$ 张没有奖.某顾客从这 $10$ 张中任抽 $2$ 张.
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值 $X$ （元）的分布列.

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18、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b \tan A + b \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{\cos A}$ ．

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、若 $a = 4, c = 3$ ，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把 $△ A B C$ 的面积分成相等的两部分，求 $P Q$ 的最小值．

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19、函数 $y = [x]$ 称为高斯函数， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]= 0,[lg 99] = 1$ ．已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 3$ ，且 $a_{n} = n (a_{n + 1} - a_{n})$ ，若 $b_{n} = [lg a_{n}]$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前2025项和为．

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20、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若点 $M$ 在线段 $B C_{1}$ 上（不含端点）运动，则下列结论正确的为（）

A、直线 $A_{1} M$ 可能与平面 $A C D_{1}$ 相交 B、三棱锥 $A - M C D$ 与三棱锥 $D_{1} - M C D$ 的体积之和为定值 C、当 $C M ⊥ M D_{1}$ 时， $C M$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角最大 D、当 $△ A M C$ 的周长最小时，三棱锥 $M - C B_{1} D_{1}$ 的外接球表面积为 $16 π$

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