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相关试卷

1、某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为 $a_{n}$ 万元．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ ；写出{ $a_{n}$ }的递推公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} - 800$ ，证明数列{ $b_{n}$ }为等比数列；

(3)、求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取 $lg 2 = 0.3$ ）.

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2、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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3、等差数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数， $a_{1} = 3$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 1$ ，且 $b_{2} S_{2} = 64, b_{3} S_{3} = 960$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ ．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = a_{n}^{2} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ $b_{n + 1} = \frac{3}{2} a_{n} - \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ 若 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ .

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6、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 2, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 4, a_{3} + a_{6} + a_{9} =$ .

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7、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $0 < a_{1} < 1$ ， $a_{8} a_{9} > 1$ ， $a_{8} a_{9} + 1 < a_{8} + a_{9}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $q > 1$ B、 $a_{8} a_{10} < 1$ C、 $T_{17} > 1$ D、 $T_{n}$ 的最小值为 $T_{9}$

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8、关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 - 2^{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 B、若 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n + 2$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列 C、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ 成等比数列 D、若数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ 成等差数列

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 8$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入 $k$ 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$ ，以下说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 8 n - 6$ B、当 $k = 3$ 时， $b_{n} = 2 n$ C、当 $k = 3$ 时， $b_{29}$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 D、若 $b_{9}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，则 $k$ 的值可能为7

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10、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = m$ ， $S_{m} = n (m \neq n)$ ，则 $S_{m + n} =$ （）

A、 $m + n$ B、 $- (m + n)$ C、 $m - n$ D、 $2 m + n$

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11、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ， $a_{1} = 16$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，则 $T_{n}$ 取最大值时n的值为（）

A、3 B、6 C、4或5 D、6或7

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12、等比数列 ${a_{n}}$ 的前5项的和 $S_{5} = 10$ ，前10项的和 $S_{10} = 50$ ，则它的前15项的和 $S_{15}$ =（）

A、160 B、210 C、640 D、850

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13、在2与8之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数之积为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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14、北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{9}$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，它的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 18$ ， $a_{4} + a_{6} = 90$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、189 B、252 C、324 D、405

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15、函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x>0，y>0，都有 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y)$ ，当x>1时，有f（x）>0
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（4）=2，解不等式 $f (x - 6) - f (\frac{1}{x}) ⩽ 4$ .

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16、若 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．
（1）求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；
（2）判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式 $f (a x - a) + f (- x - 2) > 0$ ．

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17、2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产 $x$ 千台，需另投入成本 $R (x)$ （单位：万元）， $R (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} + 450 x (1 \leq \leq 60) \\ 510 x + \frac{36000}{x - 10} - 3000 (60 < x \leq 100) \end{cases}$ ，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．

(1)、写出年利润 $P (x)$ （单位：万元）关于年产量x（单位：千台）的关系式；

(2)、当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？

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18、若函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) (x^{2} + a x + b)$ 的图象关于 $x = - 2$ 对称，则 $f (x)$ 的最小值为.

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19、设函数 $f (x) = x^{2024} - \frac{1}{|x|} + 5$ ，则不等式 $f (x - 1) < 5$ 的解集为.

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20、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 与x轴有2个交点 B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x (x + 1)$ C、不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(0, 1)$ D、 $\forall x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq \frac{1}{2}$

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