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相关试卷

1、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位： $mg/L$ ）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0}$ ， k是正的常数.如果在前5h消除了 $10 %$ 的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（）

A、 $27.1 %$ B、 $70 %$ C、 $72.9 %$ D、 $81 %$

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2、托马斯说：“函数是近代数学思想之花 $.$ ”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合 $M = {- 1, 2, 4}$ 到集合 $N = {1, 2, 4, 16}$ 的函数的是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = x + 2$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = 2^{x}$

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3、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 的短轴长为2．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 过点 $D (0, \frac{1}{2})$ ，且与椭圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，又点 $P$ 是椭圆 $C$ 的下顶点，当 $△ P M N$ 面积最大时，求直线 $l$ 的方程．

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4、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合.

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5、如图，在四棱锥 $V - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $△ V B C$ 为等边三角形．

(1)、求证： $B C ⊥ V D$ ；

(2)、若二面角 $A - B C - V$ 的大小为 $60^{°}$ ，求直线 $V A$ 与平面 $V B C$ 所成角的正弦值．

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6、设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列， $a_{1}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．
（1）求 ${a_{n}}$ 的公比；
（2）若 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x, P$ 为 $C$ 上一点， $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，当 $|\frac{P B}{P A}|$ 最小时，点 $P$ 到坐标原点的距离为.

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8、函数 $f (x) = x + \frac{2}{x} - \ln x$ 的单调递增区间是．

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9、已知 $P (B| A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B A) = \frac{3}{8}$ ，则 $P (A)$ 的值为．

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10、已知 ${(2 - x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{8}$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 1$ C、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \dots + |a_{8}| = 3^{8}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 8 a_{8} = - 8$

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11、某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）

A、若任意选择三门课程，选法总数为 $A_{7}^{3}$ B、若物理和化学至少选一门，选法总数为 $C_{2}^{1} C_{6}^{2}$ C、若物理和历史不能同时选，选法总数为 $C_{7}^{3}$ － $C_{5}^{1}$ D、若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 $C_{2}^{1} C_{5}^{2} C_{5}^{1}$

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12、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x - 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极小值 B、 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 2)$ 上的值域为 $(- 3, 1)$ D、曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(0, - 1)$

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13、已知空间中的两条直线 $m ， n$ 和两个平面 $α, β, m \subset α, n \subset β$ ，则（）

A、若 $m / / n$ ，则 $α, B$ 没有公共点 B、若 $α / / β$ ，则 $m, n$ 没有公共点 C、若 $m ⊥ n$ ，则 $α, β$ 可能互相平行 D、若 $α ⊥ β$ ，则 $m, n$ 可能互相平行

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14、已知 $a = e^{- \frac{7}{8}}$ ， $b = \ln \frac{9}{8}$ ， $c = \frac{1}{8}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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15、已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、6 B、12 C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{9} = 8$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、24 B、36 C、48 D、96

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17、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1), \vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标

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18、若 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ， $α$ 是第三象限的角，则 $\sin (α + \frac{π}{4}) =$

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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19、已知函数 $f (x) = (2 m^{2} + m) x^{m}$ 为幂函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，令 $g (x) = a f^{2} (x) - (3 a + 1) \cdot f (x) + 3$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $g (x)$ 在区间 $[1, 4]$ 上的值域；

(3)、若 $g (x) \geq 0$ 对任意 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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20、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a b > 0$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$

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