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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 8, A C = 6, ∠ B A C = 90 °$ ， D是BC边的中点， $∠ A_{1} C A = 45 °$ ．

(1)、求直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、求证： $A_{1} C / /$ 面 $A B_{1} D$ ．

(3)、一只小虫从点 $A_{1}$ 沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．

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2、在 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} - b^{2} - c^{2} + b c = 0$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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4、已知复数 $z = (1 + i) m^{2} - 3 i m + 2 i - 1$ ， m为实数．

(1)、若z是纯虚数，求m的值；

(2)、若 $z > 2$ ，求m的值；

(3)、若 $m = 0$ ﹐求 $| \frac{z}{1 - i} |$ 的值．

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5、已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 $A B = B C = 1, A C = \sqrt{3}$ ，则球的表面积是．

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6、济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为 $30 °$ ，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为 $50 °$ ，则小明同学求出泉标的高度约为米.
（参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.342$ ， $\sin 50 ° \approx 0.766$ ， $\sin 80 ° \approx 0.985$ ）

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7、已知向量 $\vec{B C} = (3, 1), \vec{A C} = (2, 3), \vec{A D} = (m, - 3)$ ，若B，C，D三点共线，则 $m =$ ．

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8、如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（）

A、ED与NF所成的角为 $60 °$ B、 $C N / /$ 平面AFB C、 $B M / / D E$ D、平面 $B D E / /$ 平面NCF

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 4, 3), \vec{b} = (7, 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、与向量 $\vec{a}$ 平行的单位向量仅有 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5 \sqrt{5}$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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10、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $B D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且满足 $M P / /$ 平面 $C N D_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 可以是棱 $B B_{1}$ 的中点 B、线段 $M P$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹是正方形 D、点 $P$ 轨迹的长度为 $2 + \sqrt{5}$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，D为AB的中点，E为CD的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，以向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为基底，则向量 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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12、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 互相垂直，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的关系（）

A、共线 B、垂直 C、不垂直也不平行 D、都有可能

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13、已知复数 $z = (1 + 2 i) (1 - i)$ （i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则 $f (x) =$ ．

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15、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $2^{a} = 3$ ， $b \ln 2 = 1$ ， $3^{c} = 2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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16、若直线 $l_{1} : m x - y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : 6 x - 2 y - n = 0$ 平行，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则 $m - n =$ .

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17、已知集合 $A = \{x| m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\}$ ， $B = \{x | \frac{1}{8} \leq 2^{x - 1} \leq 8\}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知向量 $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A B} = (3, - \sqrt{3})$ ， $\vec{A D} = (1, \sqrt{3})$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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19、设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为函数 $f (x) = x \sqrt{x} - 1$ ， $g (x) = x \lg x - 1$ ， $h (x) = x e^{x} - 1$ 的零点，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为( ).

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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20、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为4，底面 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{6}$ 的正方形， $P B = 3$ ，则直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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