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相关试卷

1、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点E满足 $D E = 3 E A$ ，点F是 $C C_{1}$ 的中点，点G满足 $D G = \frac{3}{5} G D_{1}$ .

(1)、求证：B、E、G、F四点共面；

(2)、求平面 $E F G$ 与平面 $A_{1} E F$ 夹角的余弦值.

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2、已知 $A (- 1, 2)$ ，以点 $A$ 为圆心的圆被 $y$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求圆 $A$ 的方程；

(2)、若过点 $B (1, - 2)$ 的直线 $l$ 与圆 $A$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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3、数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数 $λ$ （ $λ > 0$ ， $λ \neq 1$ ）的点M的轨迹是圆，已知两定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，动点M满足 $| M A | = \sqrt{2} | M B |$ ，则点M的轨迹方程为；若圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ 上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为

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4、直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, 1, 0)$ ，且l过点 $A (1, 1, 1)$ ，则点 $P (2, 2, - 1)$ 到直线l的距离为

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5、方程 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 y + m = 0$ 表示圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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6、已知圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 与直线 $x + m y - m - 2 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、圆的圆心坐标为 $(1, 2)$ B、直线过定点 $(2, 1)$ C、直线与圆相交且所截最短弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、直线与圆可以相切

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7、已知 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 0)$ ， $\vec{c} = (1, x, y)$ ，则（）

A、 $2 \vec{a} - \vec{b} = (0, 1, 2)$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ C、若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $x = 2$ D、若 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $x = - \frac{1}{2}$ ， $y = 0$

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8、已知直线 $l_{1} : m x + y = 0$ 恒过定点A，直线 $l_{2} : x - m y - 2 = 0$ 恒过定点B，且直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点P，则点P到点 $(0, 2 \sqrt{2})$ 的距离的最大值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、2

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9、已知点B是点 $A (3, 4, 5)$ 在坐标平面 $O x y$ 内的射影，则 $| \vec{O B} | =$ （）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{41}$ C、5 D、 $2 \sqrt{5}$

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10、直线 $\sqrt{2} x - \sqrt{6} y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、已知函数 $f (x) = 4 \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0)$ 图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为 $5$ ，则 $f (- \frac{6 φ}{π}) =$ （）

A、0 B、 $2 φ$ C、4 D、 $φ^{2}$

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a sin B = \frac{\sqrt{3}}{3} b cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 4, b + c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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13、某个软件公司对软件进行升级，将序列 $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots)$ 升级为新序列 $A * = (a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, a_{4} - a_{3}, \dots)$ ， $A *$ 中的第 $n$ 项为 $a_{n + 1} - a_{n}$ ，若 $(A *) *$ 的所有项都是3，且 $a_{4} = 11$ ， $a_{5} = 18$ ，则 $a_{1} =$ .

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = 6 a_{n + 1} - 9 a_{n} (n \in N_{+})$ ，且 $a_{1} = 3, a_{2} = 18$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n + 1} - 3 a_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若数列 $\{\frac{2 a_{n} + 3^{n + 1}}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, c_{n} = (n + 1) (\frac{1}{3} - S_{n}) (n \in N_{+})$ ，证明：数列 $\{c_{n}\}$ 中任意不同的三项都不能构成等差数列.

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15、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，若椭圆焦距为4，点 $P$ 在椭圆上，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积最大值为4，过点 $Q (- \sqrt{6}, 0)$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求椭圆标准方程.

(2)、若直线 $A B$ 与 $x$ 轴不垂直，在 $x$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得 $∠ A M Q = ∠ B M Q$ 恒成立？若存在，求出点 $M$ 坐标，若不存在，说明理由.

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16、已知圆 $M$ 经过 $(2, 0), (4, 2)$ 两点，且圆心 $M$ 在直线 $y = x$ 上.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、过点 $(2, 4)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $△ A B M$ 为直角三角形，求 $l$ 的方程.

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17、已知曲线 $y = \sqrt{x}$ ，求：

(1)、曲线上与直线 $y = 2 x - 4$ 平行的切线方程；

(2)、求过点 $P (0, 1)$ 且与曲线相切的切线方程.

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18、设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + (a - 3) x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x)$ 是偶函数，则 $a =$ ，

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = - 2 n + 11$ ， $S_{n}$ 是前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $- 2$ 的等差数列； B、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 5$ ； C、数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和是 $T_{n}$ ， $T_{n} = n^{2} - n$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 也是首项为9，公差为 $- 1$ 等差数列

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x + 1$ 在 $(1, 3)$ 上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(2, 18)$ B、 $[2, 18]$ C、 $(- \infty, 2) \cup [18, + \infty)$ D、 $[2, 18)$

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