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相关试卷

1、设全集 $U = M \cup N = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $N = \{1, 2\}$ ，则 $M \cap ∁_{U} N =$ （）

A、 ${3, 4}$ B、 ${3}$ C、 ${4}$ D、 $\emptyset$

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2、已知在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} a \cos C = \sqrt{3} b - c \sin A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知直线 $A M$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，且与 $B C$ 交于点 $M$ ，若 $a = 4$ ， $A M = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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3、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切于点 $P$ ，且点 $P$ 在第一象限．

(1)、若直线 $l$ 的斜率为 $- 1$ ．求点 $P$ 的坐标；

(2)、若过原点 $O$ 的直线 $l_{1}$ 与 $l$ 垂直，垂足为 $Q$ ，求 $△ O P Q$ 面积的最大值．

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4、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D / / B C, ∠ B A D = \frac{π}{4}$ ， $A D = 2 B C = 2 P B = 4, A P ⊥ C D .$

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A P B$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $2$ ，求二面角 $D - P C - B$ 的平面角的余弦值

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5、在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 120 °, A B = \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上且满足 $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{E C}$ ，且 $A E = \sqrt{3}$

(1)、求 $∠ B A E$ ；

(2)、若 $∠ A D C = 60 °$ ，求四边形 $A B C D$ 周长的最大值

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6、已知直线 $l : x + y - 1 = 0$ ．

(1)、若直线 $l_{1} : (2 m + 1) x + (m^{2} - 2) y = 3 m + 2$ 与直线 $l$ 平行，求 $m$ 的值；

(2)、若圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x + 4 y + 5 = 0$ 关于直线 $l$ 的对称图形为曲线 $Γ$ ，直线 $l_{2}$ 过点 $P (2, 2)$ ，求曲线 $Γ$ 截直线 $l_{2}$ 所得的弦长的最小值．

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7、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $△ A_{1} B D$ 内一点，且 $A P = \sqrt{3}$ ，则 $B P + C_{1} P$ 的最小值为．

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8、已知点 $F$ 为抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，则点 $F$ 坐标为．

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9、数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0) (a > 0)$ ，动点 $P$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（）

A、双纽线有对称中心和对称轴 B、双纽线的方程是 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})$ C、 $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 的最大值为 $2 a$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{a^{2}}{2}$

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10、已知样本数据是两两不同的四个自然数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且样本的平均数为4，方差为5，则该样本数据中（）

A、众数为4 B、上四分位数为6 C、中位数为4 D、最小值为1

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11、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 2$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 3 = 0$ 交于 $M, N$ 两点，则（）

A、两圆半径相同 B、两圆有3条公切线 C、直线 $M N$ 的方程是 $4 x - 2 y + 5 = 0$ D、线段 $M N$ 的长度是 $\sqrt{3}$

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12、设 $f (x) = {(x - 8)}^{2} \sin ω x$ ，若存在 $a \in R$ ，使 $f (x + a)$ 为偶函数，则 $ω$ 可能的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{16}$ D、 $\frac{π}{32}$

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13、已知事件 $A, B$ 满足 $P (A) = 0.6, P (B) = 0.1$ ，则（）

A、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.06$ B、若 $A$ 与 $B$ 互斥， $P (A B) = 0.06$ C、若 $P (B) + P (C) = 1$ ，则 $C$ 与 $B$ 相互对立 D、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A \cup B) = 0.6$

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14、已知正四面体 $P A B C$ 的棱长为1，动点 $M$ 在平面 $A B C$ 上运动，且满足 $\vec{P M} = - \vec{P A} - \vec{P B} + m \vec{P C}$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{A B}$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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15、“ $a < \frac{1}{4}$ ”是方程“ $\frac{x^{2}}{3 a} + \frac{y^{2}}{4 a - 1} = 1$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知直线 $l : y = k x - 2$ 的一个方向向量为 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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17、设复数 $z$ 满足 $(2 + i) = i z$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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18、已知集合 $A = \{y |y = \sin 2 x\}$ ， $B = \{x |y = \sqrt{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[0, 1)$ D、 $\emptyset$

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19、若 $a > b > 0 ， c < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a + c < b + c$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a - c < b - c$

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20、若定义在 $D$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in D$ ，存在常数 $M$ ，都有 $f (x) \leq M$ 成立，则称 $M$ 为函数 $f (x)$ 的上界，最小的 $M$ 称为函数 $f (x)$ 的上确界，记作 $M =$ $\sup f (x)$ . 与之对应，若定义在 $D$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in D$ ，存在常数 $m$ ，都有 $f (x) \geq m$ 成立，则称 $m$ 为函数 $f (x)$ 的下界，最大的 $m$ 称为函数 $f (x)$ 的下确界，记作 $m = \inf f (x)$ .

(1)、若 $f (x)$ 有下确界 $m$ ，则 $m$ 一定是 $f (x)$ 的最小值吗? 请举例说明.

(2)、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + x$ ，其中 $a \in R$ .
(i) 若 $a = 0$ ，证明： $f (x)$ 有下确界，没有上确界.
(ii)若函数 $f (x)$ 有下确界，求实数 $a$ 的取值范围，并证明 $\inf f (x) \geq 1$ .

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