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相关试卷

1、某学校高一 $100$ 名学生参加数学竞赛，成绩均在 $40$ 分到 $100$ 分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这 $100$ 名学生分数的中位数与平均数；（精确到 $0.1$ ）
（2）某老师抽取了 $10$ 名学生的分数： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{10}$ ，已知这 $10$ 个分数的平均数 $\bar{x} = 90$ ，标准差 $s = 6$ ，若剔除其中的 $100$ 和 $80$ 两个分数，求剩余 $8$ 个分数的平均数与标准差.（参考公式： $s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}{n}}$ ）
（3）该学校有 $3$ 座构造相同教学楼，各教学楼高均为 $20$ 米，东西长均为 $60$ 米，南北宽均为 $20$ 米.其中 $1$ 号教学楼在 $2$ 号教学楼的正南且楼距为 $40$ 米， $3$ 号教学楼在 $2$ 号教学楼的正东且楼距为 $72$ 米.现有 $3$ 种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为 $35, 55, 105$ 米，每个售价相应依次为 $1500, 2000, 4000$ 元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为 $100$ 元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据： $210^{2} = 44100, 192^{2} = 36864, 110^{2} = 12100$ ）

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， $A A_{1} = A_{1} B = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ．
（1）证明：平面 $A B C$ ⊥平面 $A_{1} A C C_{1}$ ．
（2）若 $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离．

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \cos (C - \frac{π}{3}) = \frac{a + c}{2}$ .
（1）求角 $B$ 的大小；
（2）若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围.

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4、已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 6$ ， $a_{n - 1} \cdot a_{n} - 6 a_{n - 1} + 9 = 0$ ， $n \in$ N*且 $n$ ≥ $2$ .
（1）求证：数列 ${\frac{1}{a_{n} - 3}}$ 为等差数列；
（2）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（3）设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{{(n + 1)}^{2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、已知 $f (x)$ 是定义在 $(1 ， + \infty)$ 上的函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $x f^{'} (x) \ln x > f (x), f (e^{2}) = 2$ ，则不等式 $f (e^{x}) < x$ 的解集是．

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6、已知 ${(1 - 2 x)}^{n}$ 的展开式中，二项式系数的和为 $64$ ，则它的二项展开式中，系数最大的是第项．

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7、从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次任取出2个球，则下列说法正确的是（）

A、事件“两球都不是白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立 B、事件“两球恰有一白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立 C、事件“两球至少有一个白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立 D、事件“两球都为红球”与事件“两球都为白球”是对立事件

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8、若 $a, b, c \in R$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” B、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 C、“ $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 对 $x \in R$ 恒成立”的充要条件是“ $b^{2} - 4 a c \leq 0$ ” D、“ $a < 1$ ”是“方程 $x^{2} + x + a = 0$ 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

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9、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{A C} ⊥ \overset{⃑}{D_{1} N}$ B、 $\overset{⃑}{M C} ⊥ \overset{⃑}{D_{1} N}$ C、 $\overset{⃑}{M C} \cdot (\overset{⃑}{A_{1} B_{1}} - \overset{⃑}{A_{1} D_{1}}) = 0$ D、 $\overset{⃑}{M C} = \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{B_{1} B} + \overset{⃑}{A D}$

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10、已知文印室内有 $5$ 份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这 $5$ 份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（）

A、 $15$ B、 $21$ C、 $28$ D、 $36$

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11、设 $a = {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}, b = {(\frac{4}{3})}^{\frac{1}{4}}, c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{4}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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12、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．若 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 的对称中心为 $(m, n)$ ，则 $f (- 2022) + f (- 2021) + f (- 2020) + f (2018) + f (2019) + f (2020) =$ ．

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13、命题 $p$ ： $\exists x_{0} \geq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} < 0$ ，则命题 $p$ 的否定为.

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14、已知 $f (x) = (k^{2} + 2 k + 2) x^{2 k + 1} + m - 3$ 是幂函数，则 $f (m) =$ （）

A、3 B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $\frac{1}{3}$

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、如图，过点 $O$ 的直线 $l$ （异于 $y$ 轴）与 $C$ 交于点P，Q，过左焦点 $F$ 作直线PQ的垂线交圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 于点M，N，垂足为 $T$ .

①若点 $A (- 4, 0)$ ，设直线AM，AN的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②记 $△ P T N, △ Q T M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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16、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + k x - 2 y + k^{2} = 0$ ， $k \in R$ ，则（）

A、当 $k = 0$ 时， $C$ 的面积是 $π$ B、实数 $k$ 的取值范围是 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ C、点 $(0, 1)$ 在 $C$ 内 D、当 $C$ 的周长最大时，圆心坐标是 $(0, - 1)$

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17、圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 的圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(4, - 2)$

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18、三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 $y = A x^{2} + \frac{B}{x}$ $(A > 0, B > 0)$ 的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ 的图象，所以也称 $f (x)$ 的图象为牛顿三叉戟曲线.

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、已知两个不相等的正数m，n满足： $f (m) = f (n)$ ，求证： $m n < 1$ ；

(3)、是否存在实数a，b，使得 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域是 $[3 a, 3 b]$ ？若存在，求出所有 $a, b$ 的值；若不存在，说明理由.

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19、某市轨道交通 $S 1$ 线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算， $S 1$ 线列车载客量 $p (t)$ 与发车间隔 $t$ （单位：分钟）有关．当 $4 \leq t < 16$ 时，载客量为 $k {(16 - t)}^{2} + 50 t$ （ $k$ 为常数），且发车间隔 $t = 4$ 时的载客量为344人；当 $16 \leq t \leq 20$ 时列车为满载状态，载客量为800人．

(1)、为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？

(2)、已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时， $S 1$ 线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值．

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} sin x cos (x + \frac{π}{4}) + 1$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、把 $y = f (x)$ 图象上的所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ ， $x \in [\frac{π}{6}, \frac{3 π}{8}]$ 的值域.

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