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相关试卷

1、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $M$ 为边 $D C$ 上一点且 $D M = 1$ ， $A M$ 与 $B D$ 交于点 $Q$ ，将 $△ A D M$ 沿棱 $A M$ 折起，使得点 $D$ 折到点 $P$ 的位置，则 $sin ∠ P B Q$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{8}{3})$ ，且其离心率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过点 $(- 1, 0)$ 的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足 $O M ∥ P A$ ，问 $\vec{O A} \cdot \vec{O M}$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）．

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3、如图，矩形 $A B C F$ 与梯形 $F C D E$ 所在的平面垂直， $D E ∥ C F$ ， $E F ⊥ F C$ ， $A F = E F = D E = 1$ ， $A B = 2$ ， P为 $A B$ 的中点．

(1)、求证：平面 $E P F ⊥$ 平面 $D P C$ ；

(2)、求平面 $B C D$ 与平面 $D P C$ 夹角的余弦值．

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4、某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 $4$ 个红球， $6$ 个白球的甲箱和装有 $5$ 个红球、 $5$ 个白球的乙箱中，各随机摸出 $1$ 个球，在摸出的 $2$ 个球中，若都是红球，则获奖.

(1)、求顾客抽奖 $1$ 次能获奖的概率；

(2)、若顾客有 $3$ 次抽奖机会，记该顾客在 $3$ 次抽奖中将的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = (3 n - 2) \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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6、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点为 $O$ ，且过点 $A, B$ ．若 $△ O A B$ 是边长为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形，则 $p =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \sin 2 x + \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为3 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{12})$ 上单调递增

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8、在 ${(1 - 3 x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，二项式的系数和为 $256$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $n = 8$ B、展开式中各项系数和为 $256$ C、第 $4$ 项的二项式系数最大 D、展开式中所有系数的绝对值的和为 $4^{8}$

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与一条渐近线垂直，垂足为 $M$ ， $l$ 交双曲线右支于点 $N$ ， $\vec{F_{1} N} = 4 \vec{F_{1} M}$ ，则离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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10、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\vec{a}$ D、 $\vec{b}$

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11、在棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（）

A、 $π$ B、 $6 π$ C、 $4 π$ D、 $2 π$

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12、已知 $a = e^{0.7}, b = \ln 2.3, c = \log_{0.8} 5$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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13、 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 互为共轭复数， $z_{1} = 1 - i$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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14、定义非零向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 的“相伴函数”为 $f (x) = a sin x + b cos x (x \in R)$ ，向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 称为函数 $f (x) = a sin x + b cos x (x \in R)$ 的“相伴向量”（其中 $O$ 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 $S$ ．

(1)、设 $h (x) = \sqrt{3} cos (x + \frac{π}{6}) + 3 cos (\frac{π}{3} - x) (x \in R)$ ，请问函数 $h (x)$ 是否存在相伴向量 $\vec{O M}$ ，若存在，求出与 $\vec{O M}$ 共线的单位向量；若不存在，请说明理由．

(2)、已知点 $M (a, b)$ 满足： $\frac{b}{a} \in (0, \frac{1}{2}]$ ，向量 $\vec{O M}$ 的“相伴函数” $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值，求 $tan 2 x_{0}$ 的取值范围．

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15、已知锐角三角形 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 且 $\sqrt{3} c cos A + c sin A = \sqrt{3} b$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，角 $A$ 与角 $B$ 的内角平分线相交于点 $D$ ，求 $△ A B D$ 面积的取值范围．

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16、如图，现有一直径 $A B ＝ 2$ 百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足 $O C ＝ O D ＝ 2$ 百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．

(1)、设 $∠ E O B ＝ θ$ ，试将管道总长（即线段 $E C + E D$ ）表示为变量θ的函数；

(2)、求管道总长的最大值．

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17、如图，在正方体中， $S$ 是 $B_{1} D_{1}$ 的中点， $E, F, G$ 分别是BC、DC、SC的中点.

(1)、求证：平面 $E F G ∥$ 平面 $D B B_{1} D_{1}$ ；

(2)、若正方体棱长为1，过A、E、 $C_{1}$ 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.

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18、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{sin B}{sin A} + \frac{sin A}{sin B} - 4 cos C = 0$ ．

(1)、证明： $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ ；

(2)、若 $cos B = \frac{2 {sin}^{2} B}{sin A sin C}$ ，求角 $A$ 的大小．

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19、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 1$ ， $cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ， $b = x$ ，三角形有唯一解，则整数 $x =$ ．

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20、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2)$ ， $\vec{A C} = (2, 3)$ ， $\vec{A D} = (m, - 3)$ ，若B，C，D三点共线，则 $m =$ ．

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