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相关试卷

1、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别在 $B B_{1} ， D D_{1}$ 上，且 $A E ⊥ A_{1} B, A F ⊥ A_{1} D$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ E F$ ；

(2)、当 $A D = 3 ， A B = 4 ， A A_{1} = 5$ 时.
（i）求 $A_{1}$ 到平面AEF的距离；
（ii）求平面AEF与平面 $A_{1} B D$ 的夹角的余弦值.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, （ a > b > 0 ）$ ，长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 倾斜角为 $\frac{3}{4} π$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ ，求 $|M N|$ .

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $S_{n}$ 为其前n项和， $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n, (n \in N^{*}, n \geq 1)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}} ，$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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4、已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (- 2, 0)$ ， $A B$ 边上的高所在的直线方程为 $x + 3 y - 26 = 0$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若 $B C$ 边上的中线所在的直线方程为 $y = 3$ ，求直线 $A C$ 的方程．

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5、在四面体 $A B C D$ 中，且 $∠ B A D = ∠ A B C = \frac{π}{2}, A B = \sqrt{3}$ ， $A D = B C = 1$ ， $C D = \sqrt{6}$ 则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为.

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6、已知 $b$ 是 $a$ 、 $c$ 的等差中项，直线 $a x + b y + c = 0$ 恒过定点 $A$ ，则定点 $A$ 的坐标为.

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7、双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的两条渐近线所成的锐角为．

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1 ， F_{1} ， F_{2}$ 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5} ，$ 下列说法正确的是（）

A、满足条件的P点总共有4个 B、 $S_{△ F_{1} P F_{2}}$ =4 C、|PO|=3 D、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 6$

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9、在正方体 $A B C D - - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的是（）

A、异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $A C_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ C、直线 $A C$ 与 $B D_{1}$ 垂直 D、二面角 $C_{1} - A B - D$ 大小为 $\frac{π}{4}$

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10、函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象为双曲线，下列关于该双曲线的说法正确的是（）

A、焦距长为 $2 \sqrt{2}$ B、实轴长为 $2 \sqrt{2}$ C、对称轴为 $y = \pm x$ D、离心率为2

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11、设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且 $|\vec{P F_{1}} + \vec{P O}| = |\vec{P F_{1}} - \vec{P O}|, |\vec{P F_{1}}|, |\vec{P O}|, |\vec{F_{1} O}|$ 成等差数列，则C的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为各项均为正数的等比数列， $T_{n}$ 为其前n项积， $a_{2} = \frac{63}{2} ， a_{4} = \frac{63}{8} ，$ 当 $T_{n}$ 取得最大值时，n为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 过点 $P (1, 1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 为线段 $A B$ 的中点，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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14、已知平面内两定点 $A (- 9, 0), B (- 1, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P A| = 3 |P B|$ ， $△ A B P$ 面积的最大值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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15、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和， $3 a_{2} + S_{6} = 2025 ，$ 则 $a_{3} =$ （）

A、224 B、225 C、2024 D、2025

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16、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{C A}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A C_{1}}$ D、 $\vec{C_{1} A}$

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17、已知 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $3 x + 4 y$ 的最大值（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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18、已知直线 $l_{1} : 3 x + 4 y + 10 = 0$ ， $l_{2} : 3 x + 4 y - 5 = 0$ ，两直线之间的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、已知 $f (x) = e^{a x} - x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in Z^{*}$ ， $n \geq 2$ ，证明： $1 + 2^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{3}} + \dots +$ $n^{\frac{1}{n}} > n + \ln (n + 2) - \ln 3$ ．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $R$ 为椭圆上的一点，且 $△ R F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与椭圆交于 $E, F$ 两点（点 $E$ 在第一象限）， $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上位于直线 $l$ 两侧的动点，始终保持 $∠ Q E F = ∠ P E F$ ，求证：直线 $P Q$ 的斜率为定值.

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