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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln \frac{x + 1}{1 - x} + a (a \in R)$ 为奇函数，则 $f (\frac{1}{3}) =$ .

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2、如图所示，某游戏闯关者需从区域Ⅰ内的定点P快速移动至区域Ⅱ内的定点Q.两区域以直线l为分界线，已知P，Q两点到直线l的距离分别为1，2，且向量 $\vec{P Q}$ 在直线l的方向向量上的投影向量的模长为3，考虑到两区域通行环境差异，设定闯关者在区域Ⅰ的移动速率为a，在区域Ⅱ中的移动速率为b，线段 $P Q$ 与直线l相交于点A，若图示折线路径 $P B Q$ 是耗时最短的闯关路线.则下列说法正确的有（）

A、存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{B A} = λ \vec{B P} + (1 - λ) \vec{B Q}$ B、若 $\tan ∠ B Q P = \frac{1}{7}$ ，则 $A B = \frac{1}{2}$ C、 $a < b$ D、 $b \cos ∠ P B A + a \cos ∠ Q B A = 0$

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3、已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足： $f^{'} (x) > 2$ ，若单调递增数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\{\begin{cases} a_{1} = 1, \\ a_{n + 1} = f (a_{n}), n \in N^{*}, \end{cases}$ 则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = n$ B、函数 $y = f (x) - 2 x$ 是增函数 C、 $\{a_{n}\}$ 可能是等比数列 D、若 $a_{2} = 2$ ，则 $a_{100} > 10^{9}$

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4、已知 $α$ 为锐角，若 $\tan 2 α = \frac{3 \sin α}{\cos α + \sin α}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $α$ 的终边经过点 $(3, 1)$ B、 $sin (π + α) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\sqrt{1 + \cos 2 α} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、若 $α + β = \frac{π}{4}$ ，则 $\tan β = \frac{1}{2}$

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5、若数轴上有一个质点位于 $x = 0$ 处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第10次运动后首次到达 $x = 6$ 处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{13}{27}$ C、 $\frac{28}{45}$ D、 $\frac{7}{15}$

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6、已知A，B，C是函数 $f (x) = |2 - \log_{3} x|$ 图象上的三点，A在x轴上，且 $B C / / x$ 轴，若 $B C = 24$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、0 B、－1 C、－107 D、82

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7、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P，Q分别为棱 $A A_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 上的动点（可与端点重合），若 $P Q / /$ 面 $A B_{1} C$ ，则线段 $P Q$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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9、设 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、20 B、－20 C、160 D、－160

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10、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} = 25$ ，则 $a_{3} + 2 a_{6} =$ （）

A、17 B、21 C、23 D、27

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11、若复数z满足 $z (1 + i) = 1 - 3 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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12、已知集合 $A = \{x| 2^{x} < 4\}$ ， $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = k P A$ ，点 $O$ ， $D$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点. $O P ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $P B C$ 内的射影恰好为 $△ P B C$ 的重心？

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14、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (b \cos C + c \cos B) = 2 a \sin A$

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、在（1）的条件下，若 $\sin C = \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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15、如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

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16、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = - 2$ ， $S_{7} = 14$ ，则 $a_{10} =$ .

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17、法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}, A_{2}$ 的动点，点 $Q$ 是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）

A、该椭圆的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 35$ B、存在点 $Q$ 使 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为25 C、使 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ 的点 $P$ 有四个 D、直线 $P A_{1}, P A_{2}$ 的斜率之积 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = - \frac{2}{5}$

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18、下列说法正确的是（）

A、若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 1)$ 为偶函数，则 $μ = \frac{1}{2}$ B、数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C、已知 $0 < P (M) < 1$ ， $0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M| N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则 $M$ ， $N$ 相互独立 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ 依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $X_{0.05} = 3.841$ ），可判断 $X$ 与 $Y$ 有关且犯错误的概率不超过0.05

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19、若关于 $x$ 的方程 $\log_{\frac{1}{3}} (a - 3^{x}) = x - 2$ 有解，则实数 $a$ 的最小值为

A、4 B、6 C、8 D、2

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20、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上恰有3个实数根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{25}{24}, \frac{31}{24})$ B、 $(\frac{31}{24}, \frac{37}{24}]$ C、 $(\frac{31}{24}, \frac{47}{24}]$ D、 $(\frac{31}{24}, \frac{61}{24})$

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