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相关试卷

1、经过抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线 $E$ 于点 $A$ ， $l$ 是 $E$ 在点 $A$ 处的切线. 点 $B$ 是 $E$ 上异于 $A$ 的任意一点，过 $B$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $l$ 于点 $C$ ，则 $\frac{| C M |}{| B F |} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、不确定

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点Q为底面 $A B C D$ （含边界）上的动点，满足平面 $A_{1} Q C ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ ，则点 $Q$ 的轨迹为（）

A、一段圆弧 B、一段抛物线 C、一段椭圆 D、一条线段

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3、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $A B, B C$ 的中点，平面 $D E C_{1}$ 交棱 $B B_{1}$ 于点 $G$ ，则下列结论中正确的是（）

A、直线 $A_{1} F$ 与直线 $C_{1} E$ 异面 B、直线 $A_{1} F ⊥$ 平面 $D E C_{1}$ C、平面 $A B_{1} D_{1} / /$ 平面 $D E C_{1}$ D、截面 $D E G C_{1}$ 是直角梯形

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4、设椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $e$ ，则“ $e \in (\frac{1}{2}, 1)$ ”是“ $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} < 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是平行四边形， $M$ 为侧棱 $P C$ 上的点，且 $\vec{P M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6、已知 $α, β$ 是空间中两个不同平面， $m, n$ 是两条不同直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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7、点 $P (3, 0)$ 关于直线 $l : 2 x - y - 1 = 0$ 的对称点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(- 2, - 3)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- 1, - 3)$ D、 $(1, 0)$

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8、如图，在直角三角形 $O A B$ 中， $A = \frac{π}{2}$ ，边 $O A$ 所在直线的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- 1$ D、 $1$

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9、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, x, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 4, 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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10、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}) - f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、已知函数 $g (x) = sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{3})$ ，记方程 $g (x) = \frac{1}{3}$ 在 $x \in [0, 21]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}$ ，求 $x_{3} + 2 x_{4} + \dots \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ 的值.

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11、如图，已知三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的侧棱垂直于底面， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A^{'} B$ 和 $B^{'} C^{'}$ 的中点．

(1)、证明： $M N //$ 平面 $A A^{'} C^{'} C$ ；

(2)、设 $A B = λ A A^{'}$ ，当 $λ$ 为何值时， $C N ⊥$ 平面 $A^{'} M N$ ？试证明你的结论．

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12、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .
（1）若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$ 且 $\sin^{2} A (2 - \cos C) = \cos^{2} B + \frac{1}{2}$ ，求角 $C$ 的大小；
（2）若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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13、如图，如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 2 A D = 2$ ， $P D = B D = \sqrt{3} A D$ ，且 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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14、已知 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - 2 \vec{b}) = 8$ ，

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值：

(2)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角.

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15、已知三棱锥 $P - A B C$ 三条侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两互相垂直，且 $P A = P B = P C = 6$ ， $M$ ， $N$ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 $M N$ 的长度的最小值为．

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16、如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段 $A C$ 、 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $A B$ ， $A B =4cm$ ， $A C =6cm$ ， $B D =8cm$ ， $C D =2 \sqrt{17} cm$ ，则这个二面角的度数为.

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17、如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形 $A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = \sqrt{3}$ ，则三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为.

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18、已知 $a > b > c > 0$ ，定义域和值域均为 $[- a, a]$ 的函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（）

A、方程 $f [g (x)] = 0$ 有且仅有三个解 B、方程 $g [f (x)] = 0$ 有且仅有二个解 C、方程 $f [f (x)] = 0$ 有且仅有五个解 D、方程 $g [g (x)] = 0$ 有且仅有一个解

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19、点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，则（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点O为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} - \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} - \frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|}) = 0$ ，则点O为 $△ A B C$ 的内心 C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则点O为 $△ A B C$ 的垂心 D、在 $△ A B C$ 中，设 ${\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = 2 \vec{A O} \cdot \vec{B C}$ ，那么动点O的轨迹必通过 $△ A B C$ 的外心

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20、如图所示， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $V A$ 垂直于半圆 $O$ 所在的平面，点 $C$ 是圆周上不同于 $A, B$ 的任意一点， $M, N$ 分别为 $V A$ ， $V C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $M N$ $∥$ 平面 $A B C$ B、平面 $V A C ⊥$ 平面 $V B C$ C、 $M N$ 与 $B C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ D、 $O C ⊥$ 平面 $V A C$

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