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相关试卷

1、已知 $a$ 是实数， $\frac{a - i}{2 + i}$ 是纯虚数，则 $a =$ .

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2、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在球 $O$ 的表面上， $A B = B C = C A = 2$ ，且球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离等于球半径的 $\frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、球 $O$ 的表面积为 $6 π$ B、球 $O$ 的内接正方体的棱长为1 C、球 $O$ 的外切正方体的棱长为 $\frac{4}{3}$ D、球 $O$ 的内接正四面体的棱长为2

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3、下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是（）

A、若两个平面有三个公共点，则它们一定重合 B、空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 C、直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线 a，b是异面直线 D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 是 $B_{1} D_{1}$ 的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $A B_{1} D_{1}$ 于点 $M$ ，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面

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4、在 $△ A B C$ 中已知 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ 则 $△$ 为（）

A、等腰 $△$ B、直角 $△$ C、等边 $△$ D、三边均不相等的 $△$

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5、 $△ A B C$ 中 $∠ A = 60 °$ ，若 $S_{△ A B C} = \frac{3}{2} \sqrt{3}$ 且 $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $10 + \sqrt{7}$ B、12 C、 $5 + \sqrt{7}$ D、 $5 + 2 \sqrt{7}$

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6、圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的表面积为（）

A、 $81π$ B、 $100π$ C、 $14π$ D、 $168π$

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7、 $A, B$ 表示点， $a$ ， $b$ 表示线， $α$ 表示平面，下列命题中是真命题的为（）

A、若点 $A \in$ 平面 $α$ ，点 $B \notin$ 平面 $α$ ，则 $A B$ 与平面 $α$ 相交 B、若 $a \subset α, b \subset α$ .则 $a$ 与 $b$ 必异面 C、若 $A \in$ 平面 $a, B \notin$ 平面 $a$ ，则 $A B //$ 平面 $a$ D、若 $a //$ 平面 $α, b \subset$ 平面 $α$ ，则 $a ∥ b$

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8、 $△ A B C$ 中若 $(a^{2} + c^{2} - b^{2}) \tan B = \sqrt{3} a c, ∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3}$

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9、设 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} + |z| =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 + i$

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10、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (2, 0)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- \frac{1}{2}, 1)$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、5

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11、若 $A B < 0$ ， $B C > 0$ ，则直线 $A x - B y - C = 0$ 不经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{2} c \cdot \sin A \cos B = a \cdot \sin C$ .
（1）求 $∠ B$ 的大小；
（2）若 $Δ A B C$ 的面积为 $a^{2}$ ，求 $\cos A$ 的值.

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13、已知直线 $l_{1} : x + a y + 1 = 0$ ， $l_{2} : (a - 1) x + y + a = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $135 °$ B、当 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 时， $a = \frac{1}{2}$ C、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = - 1$ D、直线 $l_{1}$ 始终过定点 $(- 1, 0)$

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14、下列说法错误的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值是 $2$ B、 $\sqrt{x (2 - x)} (0 < x < 2)$ 的最大值是 $1$ C、 $\sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值是 $2$ D、 $4 - 2 x - \frac{2}{x} (x > 1)$ 的最大值为 $0$

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15、如果数列 $\{x_{n}\}$ 满足：存在实数 $G_{1}$ ， $G_{2}$ ，使得对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $G_{1} \leq x_{n} \leq G_{2}$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 有界，其中 $G_{1}$ 为 $\{x_{n}\}$ 的下界， $G_{2}$ 为 $\{x_{n}\}$ 的上界．

(1)、写出数列 $\{x_{n}\}$ 无界的定义；

(2)、已知 $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ ， $b_{n} = \frac{1}{n}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ，讨论数列 $\{A_{n}\}$ ， $\{B_{n}\}$ 的有界性：

(3)、两个整数数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足方程： $(a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n} - a_{n - 2}) + (b_{n} - b_{n - 1}) (b_{n} - b_{n - 2}) = 0$ ， $(n = 3, 4, 5, \dots)$ ，证明：存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = a_{k + 2}$ ．

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16、已知点A，B分别为双曲线 $τ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右顶点， $τ$ 的离心率为2，过点 $B$ 作垂直于 $x$ 轴的直线l，P为直线 $l$ 上一点， $D$ 为双曲线右支上一点，直线PD交双曲线左支于 $C$ 点，直线AD，AC分别交直线OP于E，F点，当 $P (a, b)$ 时， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 3$ ．

(1)、求双曲线 $τ$ 的方程：

(2)、求 $\frac{| O E |}{| O F |}$ 的值．

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17、记锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a b (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 4 \vec{A C} \cdot \vec{B C}$ ．

(1)、求ab；

(2)、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \sin^{2} C = 2 + \cos A \cos B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \ln \frac{x}{2 - x}$ ， $g (x) = m (x - 1)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若当 $x \in [1, 2)$ 时，恒有 $f (x) \geq g (x)$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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19、如图，在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $C D // A B$ ， $B C ⊥ A B$ ， $Q A = Q D = A D = A B = 2 C D = 2$ ．

(1)、证明： $B Q ⊥ A D$ ；

(2)、若 $Q B = \sqrt{6}$ ，求平面 $Q A D$ 与平面 $Q B C$ 夹角的余弦值．

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点 $Q (1, y_{0})$ 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形 $F A B$ 的面积小于4，则四边形 $Q A F B$ 面积的取值范围是．

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