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相关试卷

1、已知正四面体的棱长为3， $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{C E} = 2 \vec{C P}$ ，过点 $P$ 作直线分别交 $C A$ ， $C B$ 于 $M$ ， $N$ ．设 $\vec{C M} = λ \vec{C A}$ ， $\vec{C N} = μ \vec{C B}$ （ $λ, μ \in (0, 1)$ ）．

(1)、求 $λ u$ 的最小值及相应的 $λ$ ， $μ$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，求：
① $△ D M N$ 的面积；
②四面体 $M N C D$ 的内切球的半径．

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2、已知 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，且 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为45°． $\vec{O M} = 2 \vec{a} - λ \vec{b}$ ， $\vec{O N} = λ \vec{a} - 3 \vec{b}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{O M}$ ， $\vec{O N}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、若四边形 $A B M N$ 为梯形，求 $λ$ 的值．

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3、已知 $△ A B C$ 中，点 $G$ 、 $O$ 分别是重心和外心，点 $D$ 为 $B C$ 边中点，且 $\vec{A G} \cdot \vec{A O} = 6$ ， $|\vec{D G}| = \frac{4}{3}$ ，则边 $B C$ 的长为．

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4、已知复数 $z$ 满足 $|z| + 2 z - 6 i = 0$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ ．

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5、在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B C} =$ ．（用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示）

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6、在锐角 $△ A B C$ 中，设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别表示角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边， $a = 1$ ， $b \cos A - \cos B = 1$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $B = 2 A$ B、 $b$ 的取值范围是 $(\sqrt{2}, 2)$ C、当 $b = \frac{3}{2}$ 时 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、若当 $A, B$ 变化时， $\sin B - 2 λ \sin^{2} A$ 存在最大值，则正数 $λ$ 的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$

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7、如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 $a$ 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 $P$ ，如果将容器倒置，水面也恰好过点 $P$ （图（2））．下列四个命题中，正确的有（）

A、正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B、在图1容器中，若往容器内再注入 $\frac{1}{2} a$ 升水，则水面高度是容器高度的 $\frac{4}{5}$ C、将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 $P$ D、任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 $P$

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8、已知复数 $z_{1} = 2 - i$ ， $z_{2} = 2 + i$ ，则（）

A、 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数 B、复数 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第四象限 C、 $z_{1} \cdot \bar{z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot z_{2}$ （注意： $\bar{z}$ 表示复数 $z$ 的共轭复数） D、满足 $|z - z_{1}| = |z - z_{2}|$ 的复数 $z$ 在复平面内对应的点的轨迹为直线

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9、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为球面上四点， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，以 $M N$ 为直径的球称为 $A B$ ， $C D$ 的“伴随球”，若三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点在表面积为 $64 π$ 的球面上，它的两条边 $A B$ ， $C D$ 的长度分别为 $2 \sqrt{7}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，则 $A B$ ， $C D$ 的伴随球的体积的取值范围是（）

A、 $[\frac{4 π}{3}, \frac{500 π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{125 π}{6}]$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{125 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{125 π}{6}]$

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10、法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数 $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ ，（ $r_{1}$ ， $r_{2} > 0$ ）则 $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})]$ ．设 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $z^{2024}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 1$ ， $A C = 2$ ，则 $\cos ∠ B A C =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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13、已知水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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14、设向量 $\vec{m} = (a, 1)$ ， $\vec{n} = (a + 2, - 3)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- 3$ D、 $- 1$ 或3

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15、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A D N M$ 是矩形，平面 $A D N M ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A D = 4$ ， $A M = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A N / /$ 平面 $M E C$ ；

(2)、求 $M E$ 与平面 $M B C$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $A M$ 上是否存在点 $P$ ，使平面 $P E C$ 和平面 $D E C$ 的夹角大小为 $\frac{π}{3}$ ？若存在，求出 $A P$ 的长；若不存在，请说明理由．

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16、在空间四边形 $P A B C$ 中， $\vec{P B} - \vec{A B} + \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{A P}$ B、 $\vec{P C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{A C}$

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17、如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ，并求EF的长；

(2)、求 $\vec{E F}$ 与 $\vec{G H}$ 夹角的大小．

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18、已知函数 $y = f (x)$ ，若存在实数 $k$ 与 $d$ ，使得对任意实数 $x$ ， $f (x + 2) + k f (x + 1) + f (x) = d$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为“ $(k, d)$ 周期函数”.

(1)、求 $k$ ， $d$ 的值，使得 $f (x) = x^{2}$ 为“ $(k, d)$ 周期函数”；

(2)、若 $f (x)$ 为“ $(2, d)$ 周期函数”，证明： $f (x + 1) + f (x)$ 为周期函数；

(3)、已知 $f (x)$ 为“ $(2, 5)$ 周期函数”，记函数 $g_{n} (x) = e^{x - 2024} - f (n) \ln x (n \in N^{*})$ .若 $g_{n} (x)$ 在区间 $(0, 2024)$ 上单调递减，且 $f (1) = 1$ ， $f (2) = 2$ ，求 $n$ 的最小值.

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19、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + c) \cdot \sin (B + C) = (b - c) \cdot (\sin B + \sin C)$ ， $b = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、点 $E$ 为边 $A C$ 的中点，若 $B E = \frac{1}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图所示，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $∠ B A C = ∠ D A C = θ$ ，且 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，记 $△ B C D$ 的周长为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的取值范围．

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20、现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格：
第x天
1
2
3
4
5
6
7
数量y
200
260
280
350
420
440
500

(1)、若y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 11200$ ）

(2)、某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求 $X < Y$ 的概率．

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第x天	1	2	3	4	5	6	7
数量y	200	260	280	350	420	440	500