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相关试卷

1、在复平面内，复数 $z$ 的对应点坐标为 $(1, - 2)$ ，则 $z^{2}$ 的共轭复数为.

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2、已知定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (x) + x f^{'} (x)}{e^{x}} = 1$ ， $f^{'} (1) - 1 = 0$ .数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，且 $a_{n + 1} f (a_{n + 1}) - f (a_{n}) = - 1$ ，则（）

A、 $f (\ln 2) \cdot \ln 2 = 1$ B、 $f (n) > 1$ C、 $a_{2025} < a_{2024}$ D、 $a_{n} \geq 1$

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3、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $(n + 1) S_{n + 1} = (n + 2) S_{n} + n (n + 1) (n + 2)$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $S_{1} = - 50$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a_{4} < 0$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 C、当 $n = 4$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最小值为8

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4、下列说法中正确的是（）

A、具有相关关系的两个变量 $x$ ， $y$ 的相关系数为 $r$ ，那么 $| r |$ 越接近于0，则 $x$ ， $y$ 之间的线性相关程度越高 B、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C、数据 $144$ ， $145$ ， $145$ ， $146$ ， $148$ ， $151$ ， $151$ ， $153$ ， $154$ ， $155$ ， $157$ ， $163$ 的上四分位数是154 D、设随机变量 $X$ 的均值为 $μ$ ， $a$ 是不等于 $μ$ 的常数，则 $X$ 相对于 $μ$ 的偏离程度小于 $X$ 相对于 $a$ 的偏离程度

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5、若函数 $f (x)$ 的定义域内存在 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $f (x_{1}) - 1 = 1 - f (x_{2})$ 成立，则称该函数为“完备函数”.已知 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (ω x - \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{4 π}{3}) (ω > 0)$ 是 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上的“完备函数”，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[3, 4)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $[2, 4)$ D、 $[3, + \infty)$

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6、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的焦距为 $m$ ，过右顶点的直线 $l$ 与双曲线的一条渐近线平行.已知原点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{8} m$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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7、广安白塔始建于1174年至1224年间，塔的一至五层为石结构，六至九层为砖结构，每层均为四方结构（即每层底面为正方形）， $P$ 为第一层下底面四边形的外接圆 $O$ 内一点，经测算，每一层的高度恰为过 $P$ 的弦的长度的二分之一，并构成等差数列，顶层的高度为过点 $P$ 的圆的最短弦长度的一半，第一层的高度为过点 $P$ 的圆的最长弦长度的一半.已知该塔第一层底面四边形的边长为 $5 \sqrt{2}$ 米， $| O P | = 3$ 米，则塔高为（）

A、41米 B、40.5米 C、39.5米 D、38.7米

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8、关于二项式 $(x^{2} - \frac{a}{x}) {(1 + x)}^{6}$ ，若展开式中含 $x^{3}$ 的项的系数为21，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、3 D、-1

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9、三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $D$ 为以 $B C$ 为直径的半圆圆周上的动点（不同于 $B$ 、 $C$ 的点）.若 $A B = 5$ ， $B D = 3$ ，则该三棱锥体积的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{5 π}{12}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（）

A、 $y = 3^{x}$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x + \frac{3}{x}$

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12、已知集合 $A = \{x \in N | - 1 < x \leq 1\}$ ，集合 $B = \{x | x = \sin α, α \in R\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素个数为（）

A、1 B、0 C、3 D、2

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13、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足当 $x \in R$ 时， $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) > 0$ ，若 $a > b$ ，则有（）

A、 $f (a) g (a) = f (b) g (b)$ B、 $f (a) g (a) > f (b) g (b)$ C、 $f (a) g (a) < f (b) g (b)$ D、 $f (a) g (a)$ 与 $f (b) g (b)$ 的大小关系不定

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14、已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f^{2} (x) - a f (x) + \frac{a}{4}$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上有三个不同零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$
①求实数a的取值范围；
②求 $2 x_{1} + x_{2} > - \frac{π}{4}$ ，求实数a的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $P$ 是图象的最高点， $Q$ 为图象与 $x$ 轴的交点， $O$ 为坐标原点，且 $P$ 点坐标为 $(\frac{1}{2}, 1)$ ， $|\overset{⃑}{O Q}| = 2$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象向右平移1个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [0, 2]$ 时，求函数 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ 的最大值.

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16、一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动.

(1)、若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离；

(2)、若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角 $θ$ ），以及到达B点所需时间.

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17、已知 $θ \in (0, π)$ ，且 $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $\sin θ - \cos θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{1 + \sin 2 θ - \cos 2 θ}{1 + \tan θ}$ 的值.

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18、在四边形ABCD中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ 点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足 $\vec{A B} + 2 \vec{P A} + 7 \vec{P B} + \vec{P C} + 8$ $\vec{P D} = \vec{0}$ ，点Q为线段AB的中点.则 $\frac{|\vec{P Q}|}{|\vec{A D}|} =$ .

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19、密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分成6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于rad.

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20、如图所示，已知角 $α$ ， $β$ （ $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ）的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 $A$ ， $B$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $C$ 坐标为 $(\cos \frac{α + β}{2}, \sin \frac{α + β}{2})$ ，记 $f (α, β) = |\vec{O M}| + \cos (β - α) -$ $\frac{\sin α + \sin β}{\cos \frac{β - α}{2}}$ ，则（）

A、 $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ B、若 $|\vec{O A} + \vec{O B}| = \sqrt{3}$ ，则 $∠ O A B = \frac{π}{3}$ C、点M的坐标为 $(\cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{β - α}{2}, \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{β - α}{2})$ D、若 $f (α, β) = 0$ ，则 $α + β = \frac{π}{3}$

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