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相关试卷

1、如图所示，在多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ ，四边形 $A A_{1} B_{1} B$ ， $A D D_{1} A_{1}^{}, A B C D$ 均为正方形， $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，过 $A_{1}, D, E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于F.
（Ⅰ）证明： $E F / / B_{1} C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $E - A_{1} D - B_{1}$ 余弦值.

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2、若两条平行直线 $l_{1}$ ： $x - 2 y + m = 0$ 与 $l_{2}$ ： $2 x + n y - 6 = 0$ 之间的距离是 $2 \sqrt{5}$ ，则 $m + n$ 的可能值为（）

A、 $3$ B、 $- 17$ C、 $- 3$ D、 $17$

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3、从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在 $50 ~ 350 kW \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间 $[100, 300)$ 内的户数为．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 3}$ ．

(1)、求 $f (0)$ 与 $f （ 2 ）$ ， $f (- 1)$ 与 $f （ 3 ）$ 的值；

(2)、由（1）中求得的结果，猜想 $f (x)$ 与 $f (2 - x)$ 的关系并证明你的猜想；

(3)、求 $f (- 2020) + f (- 2019) + \cdot \cdot \cdot + f (0) + f （ 1 ） + f （ 2 ） + \cdot \cdot \cdot + f (2021) + f (2022)$ 的值．

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5、函数 $y = 2^{x^{2} - 5 x - 6}$ 单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(\frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{5}{2})$ D、 $(6, + \infty)$

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6、若各项均为正整数的数列 $U : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots (n \geq 3)$ ，对任意的 $k (2 \leq k \leq n - 1)$ ，均有 $a_{k + 1} + a_{k - 1} > 2 a_{k}$ 成立，则称数列 $U$ 为“下凸正整数数列”.

(1)、若数列 $1, a, b, 6$ 是“下凸正整数数列”，求出所有的数对 $(a, b)$ ；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n} > 0$ 且 $b_{n + 1}^{2} = n b_{n + 1} + b_{n}^{2} + n b_{n}$ ，判断数列 $\{b_{n}\} (n \geq 3)$ 是否为“下凸正整数数列”，并说明理由；

(3)、已知“下凸正整数数列” $U^{'} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots (n \geq 3)$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $\dots$ ， $a_{n} = 991$ ，求 $n$ 的最大值.

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 分别是 $E$ 的左顶点，上顶点，与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $M, N$ 两点.
①若以线段 $M N$ 为直径的圆与直线 $A B$ 相切，求 $l$ 在 $y$ 轴上的截距；
②当直线 $A M, B N$ 斜率存在时，分别将其记为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值.

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8、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, A A_{1} = \sqrt{3}, D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 上一个动点.

(1)、若 $\vec{A_{1} E} = 2 \vec{E A}$ ，求证： $E D ⊥$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、若 $E$ 为 $A_{1} A$ 的中点，求平面 $E B C_{1}$ 与平面 $D B C_{1}$ 夹角的余弦值.

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (m, m) (m \neq 0)$ 在 $C$ 上.

(1)、求焦点 $F$ 的坐标及 $m$ 的值；

(2)、设 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点为 $B$ ，求过 $A, B, F$ 三点的圆的方程.

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{2} + a_{4} = 13$ ， $S_{5} = 25$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，记 $T_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，求 $T_{6}$ 的值.

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11、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $P, Q$ 两点， $P F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $A, △ P A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 相切于点 $B$ ，若 $|A B| = 1$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径之和的最小值等于.

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12、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : 3 x + 4 y - 3 = 0$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $△ A B C$ 的面积等于.

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13、已知两个向量 $\vec{a} = (- 1, 2, 0), \vec{b} = (- 2, 2, \sqrt{2})$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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14、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B C, B B_{1}$ 的中点， $G$ 是线段 $A D_{1}$ 上一个动点，则（）

A、在线段 $A D_{1}$ 上存在一点 $G$ ，使得 $G C_{1} / / A E$ B、三棱锥 $A - E F D_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ C、 $G E$ 与平面 $A F D_{1}$ 所成角的余弦值的最小值为 $\frac{7}{9}$ D、若 $A C_{1} ⊥$ 平面 $E F G$ ，则平面 $E F G$ 与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面面积是 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，则（）

A、 $a_{n} = 2^{n} - 1$ B、 $S_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$ C、 $S_{n + 1} = S_{n} + 2^{n + 1}$ D、数列 $\{{log}_{2} (a_{n} + 1)\}$ 为等比数列

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16、已知直线 $l : x - y + \sqrt{2} = 0$ ，则（）

A、 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $\sqrt{2}$ C、原点到 $l$ 的距离为1 D、 $l$ 与坐标轴围成的三角形的面积为2

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17、已知点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 及直线 $l : y = k x + 2$ ，如果 $l$ 上有且仅有 $3$ 个点 $P_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，使得 $△ P_{i} A B$ 是直角三角形，则 $k$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $1$ D、 $\pm 1$

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18、在四面体 $O - A B C$ 中， $M$ 、 $N$ 分别是棱 $O A$ 、 $B C$ 的中点， $P$ 是 $M N$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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19、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 25$ .过点 $P (- 2, 2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当弦 $A B$ 的长最短时，直线 $l$ 的方程是（）

A、 $x + y = 0$ B、 $x - y = 0$ C、 $x + y - 4 = 0$ D、 $x - y + 4 = 0$

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线互相垂直，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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