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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (x))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设 $g (x) = (x^{2} + x) f^{'} (x)$ ．证明：对任意 $x > 0$ ， $g (x) < 1 + e^{- 2}$ ．

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2、某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，如下表所示：
试销单价x（百元）
1
2
3
4
5
6
产品销量y（件）
91
86
p
78
73
70
附：参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 80$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 1606$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ．

(1)、求p的值；

(2)、已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ （计算结果精确到整数位）；

(3)、用 ${\hat{y}}_{i}$ 表示用正确的线性回归方程得到的与 $x_{i}$ 对应的产品销量的估计值．当销售数据 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差的绝对值 $|{\hat{y}}_{i} - y_{i}| < 1$ 时，则将销售数据称为一个“有效数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数 $ξ$ 的分布列和期望．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为正方形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B = P A$ ， F是PB中点，

(1)、求证： $A F ⊥$ 平面PBC；

(2)、求二面角 $P - A C - F$ 的余弦值.

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，且 $B D = 2$ ，则 $a + 4 c$ 的最小值为．

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5、已知过原点O的一条直线l与圆C： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 相切，且l与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于O，P两点，若 $|O P| = 4$ ，则 $p =$ ．

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6、若 $f (x)$ ＝ $a \sin (x + \frac{π}{4})$ ＋ $3 \sin (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数，则实数a＝．

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7、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ ， $μ = 1$ 时， $A P$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ C、当 $λ = 1$ ， $μ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $A B_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} A B$ D、若 $|A P| = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$

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8、设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的 $a, b \in S$ ，对于有序元素对 $(a, b)$ ，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的 $a, b \in S$ ，有 $a * (b * a) = b$ ，则对任意的 $a, b \in S$ ，下列等式中恒成立的是（）

A、 $(a * b) * a = a$ B、 $[a * (b * a)] * (a * b) = a$ C、 $b * (b * b) = b$ D、 $(a * b) * [b * (a * b)] = b$

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9、若 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{3} - b^{3} > 0$ B、 $\ln (a - b) > 0$ C、 $e^{a - b} > 1$ D、 $|a| - |b| > 0$

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10、设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对于任意的x， $y \in R$ ，都有 $|f (x) - f (y)| < |x - y|$ .若函数 $g (x) - f (x) = x$ ，则不等式 $g (2 x - x^{2}) + g (x - 2) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$

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11、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为e，右焦点为 $F (c, 0)$ ，方程 $a x^{2} + b x - c = 0$ 的两个实根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则点 $P (x_{1}, x_{2})$ （）

A、必在圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 内 B、必在圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 上 C、必在圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 外 D、与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的关系与e有关

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12、已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点， $△ A B C$ 为等边三角形且其面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$

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13、从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有

A、60种 B、48种 C、30种 D、10种

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14、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A、70% B、60% C、50% D、40%

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15、已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，则 $a$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、已知 $a > 0, b > 0, \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$ ，若不等式 $2 a + b \geq 9 m$ 恒成立，则 $m$ 的最大值是.

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q > 1$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 14$ ， $a_{2} + 1$ 是 $a_{1}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．等差数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2 b_{1} = a_{2}$ ， $b_{4} = a_{3}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{4}{b_{n} b_{n + 2}} (n 为奇数) \\ \frac{b_{n}}{a_{n}} (n 为偶数) \end{array}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；

(3)、将数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{b_{n}\}$ 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列 $\{e_{n}\}$ ，且数列 $\{e_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $e_{n} \leq e_{n + 1}$ ．求数列 $\{e_{n}\}$ 的前 $2^{n}$ 项和 $T_{2^{n}}$ ．

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

(1)、若原点到直线 $x + y - b = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；

(2)、设过椭圆的右焦点且倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 和椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，
①若 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，求 $b$ 的值
②对于椭圆上任一点 $M$ ，若 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，求实数 $λ$ ， $μ$ 满足的关系式．

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19、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \dots + \frac{a_{n}}{n} = 3^{n} - 2 (n \in N^{*}, n \geq 1)$ ，则 $a_{n} =$ .

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20、南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前5项分别为1，3，6，10，15，设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2025} =$ .

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试销单价x（百元）	1	2	3	4	5	6
产品销量y（件）	91	86	p	78	73	70