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相关试卷

1、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧棱 $A A_{1}$ 长为3，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 120 °$ ，则 $A C_{1} =$ .

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2、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 4 m + 4) \cdot x^{2 m - 4}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (1 - 2 x) < f (x + 2)$ ，求 $x$ 的取值范围．

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P B = P D = 4, ∠ P D A = \frac{π}{3}, M$ 是 $C D$ 的中点， $A M = \sqrt{5}$ .

(1)、证明：平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $N$ 是棱 $P B$ 上靠近点 $P$ 的三等分点，求直线 $C D$ 与平面 $A M N$ 所成角的大小.

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4、已知 $f (x)$ 是各项均为正整数的函数，且 $f (1) = 4, f (7) = 8$ ，对 $\forall k \in N^{*}, f (k + 1) = f (k) + 1$ 与 $f (k + 1) = \frac{1}{2} f (k + 2)$ 有且仅有一个成立，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (7)$ 的最小值为（）

A、21 B、20 C、19 D、18

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5、如图，已知 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $B B_{1} / / A A_{1}$ ， $A B = A C = 3$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ， $A A_{1} = \sqrt{7}$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{7}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $B C B_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C B_{1}$ 所成角的大小；

(3)、若点 $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点，求点 $C$ 到平面 $A E F$ 的距离．

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6、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sin C, \cos C)$ ， $\vec{n} = (2 \sin A - \cos B, - \sin B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角C的值；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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7、为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计这500名学生健康指数的平均数 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现从体质健康指数在区间 $[75, 85)$ 和 $[85, 95]$ 内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间 $[75, 85)$ 内的概率.

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8、已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且 $B = \frac{π}{3}$ ， $b = 2$ .
（1）若 $c = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $\sin A$ 的值；
（2）当 $\overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B}$ 取得最大值时，求A的值.

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9、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱BC， $C C_{1}$ 的中点， $Q$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内一点，若 $A_{1} Q ∥$ 平面AEF.则线段 $A_{1} Q$ 长度的最大值与最小值之和为.

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10、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，当向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为钝角时，实数 $λ$ 的取值范围为.

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11、某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差 $s^{2} =$ .

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12、《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, A B = 2$ ，其外接球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = \sqrt{6}$ B、 $V = 6$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $P - A B C$ 内切球的半径为 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{3}$

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13、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ B、若 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ，则 $|z_{1} z_{2}| = {|z_{1}|}^{2}$ C、若 $z_{1}$ 是非零复数，且 $z_{1}^{2} = z_{1} z_{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ D、若 $z_{1}$ 是非零复数，则 $z_{1} + \frac{1}{z_{1}} \neq 0$

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14、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A A_{1} = 2, B C = 1$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， E是 $B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $A C_{1}$ 所成的角的余弦值是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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15、下列命题中，正确命题的个数是（）
①如果 $a$ ， $b$ 是两条平行直线，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面；
②如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a / / α$ ，那么 $a$ 与平面 $α$ 内的任何一条直线平行；
③如果直线 $a$ ， $b$ 满足 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ ；
④如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a / / b$ ， $a / / α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b / / α$ ；
⑤如果平面 $α$ 的同侧有两点 $A$ ， $B$ 到平面 $α$ 的距离相等，则 $A B / / α$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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16、从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（）

A、在有放回简单随机抽样方式下， $P (A) = \frac{1}{2}$ B、在不放回简单随机抽样方式下， $P (B) = \frac{1}{4}$ C、在按性别等比例分层抽样方式下， $P (A) = \frac{1}{3}$ D、在按性别等比例分层抽样方式下， $P (B) = 1$

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17、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $A B C D$ ，如图所示， $∠ A B C = 45^{°}, A B$ $= A D = 1, D C ⊥ B C$ ，则原平面图形的面积为（）

A、 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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18、已知复数 $z$ 满足 $| z | = 2$ ，则 $| z + 3 + 4 i |$ 最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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19、基本不等式可以推广到一般的情形：对于 $n$ 个正数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时，等号成立．若无穷正项数列 $\{a_{n}\}$ 同时满足下列两个性质：① $\exists M > 0, a_{n} < M$ ；② $\{a_{n}\}$ 为单调数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

(1)、若 $a_{n} = n + \frac{4}{n^{2}}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{2^{n} - 1}$ ，记 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ ，判断数列 $\{S_{n}\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(3)、若 $c_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ，求证：数列 $\{c_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过点 $P (2, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $A, B$ ．若 $A$ 是椭圆 $C$ 的短轴端点时， $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{A P} = 3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、试判断是否存在 $l$ ，使得 ${|F_{1} A|}^{2}, \frac{{|F_{1} P|}^{2}}{2}, {|F_{1} B|}^{2}$ 成等差数列？若存在，求出直线 $l$ 的方程：若不存在，说明理由．

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性别	人数	平均数	方差
男生	100	172	18
女生	60	164	30