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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0, \sqrt{3})$ ，且离心率为 $\frac{1}{2}$ ．设 $A$ ， $B$ 为椭圆 $C$ 的左、右顶点， $P$ 为椭圆上异于 $A$ ， $B$ 的一点，直线 $A P$ ， $B P$ 分别与直线 $l : x = 4$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且直线 $M B$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $H$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求证：直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积为定值；

(3)、判断三点 $A$ ， $H$ ， $N$ 是否共线：并证明你的结论．

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2、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A D E F$ 为正方形，四边形 $A B C D$ 为梯形． $A D // B C$ ， $∠ B A D = ∠ B A F = 90 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $B C = 3$ ．

(1)、求证： $A F ⊥ C D$ ；

(2)、求直线 $B F$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值；

(3)、判断线段 $B D$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $C E //$ 平面 $A F M$ ．（结论不要求证明）

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3、拋物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．

(1)、当 $k = 1$ 时，求 $| A B |$ ；

(2)、若 $△ O A B$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ，求 $k$ 的值．

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ，底面 $A B C$ 为等边三角形， $E, F$ 分别为 $B B_{1}, A C$ 的中点．

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $A_{1} E C$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} E C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

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5、在 $△ O A B$ 中， $O$ 是坐标原点， $A (- 2, 2)$ ， $B (1, 3)$ ，求 $△ O A B$ 的外接圆方程.

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6、如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ B D$ ，截面 $P Q M N$ 是矩形，给出下列四个结论：
①平面 $B D C ⊥$ 平面 $A D C$ ；
② $A C //$ 平面 $P Q M N$ ；
③平面 $A B D ⊥$ 平面 $A D C$ ；
④ $A D ⊥$ 平面 $B D C$ ．
其中所有正确结论的序号是.

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7、已知拋物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x = - 3$ 的距离为5，则 $| M F | =$ .

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8、若直线 $l_{1} : a x + 2 y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 3 x - y - 2 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为.

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9、点 $P (1, - 1)$ 到直线 $x - y + 1 = 0$ 的距离是．

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10、在空间直角坐标系中，已知点 $A (1, 1, 2)$ ， $B (- 3, 1, - 2)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标是.

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11、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为棱 $A B$ 的中点，动点 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 及其边界上运动，总有 $A P ⊥ D_{1} M$ ，则动点 $P$ 的轨迹为（）

A、两个点 B、线段 C、圆的一部分 D、抛物线的一部分

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12、在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 $\overset{⃑}{A C} \cdot \overset{⃑}{B C} = 1$ ，则点C的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、直线

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13、如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， N为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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14、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，满足 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{2}$ 的点 $M$ 总在椭圆 $C$ 内部，则椭圆 $C$ 离心率的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{2}]$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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15、已知两条不同直线 $l, m$ 与两个不同平面 $α, β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $l // β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $l // α, l ⊥ m$ ，则 $m ⊥ α$ C、若 $l // α, m // α$ ，则 $l // m$ D、若 $α // β, m // α$ ，则 $m // β$

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16、双曲线 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程为

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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17、直线 $y = \sqrt{3} x - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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18、设 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆上一点，且 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ ．则下列说法中正确的是（）

A、 $|P F_{1}| = 5, |P F_{2}| = 3$ B、离心率为 $\frac{1}{2}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为6 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为12

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19、已知函数 $f (x) = m \cdot 9^{x} - 3^{x + 1} - m$ .

(1)、当 $m = \frac{3}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $m$ 的取值范围.

(3)、若在函数 $g (x)$ 的定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $g (a + x_{0}) + g (a - x_{0}) = 2 b$ 成立，则称 $g (x)$ 为局部对称函数，其中 $(a, b)$ 为 $g (x)$ 的图象的局部对称点.若 $(1, 0)$ 是 $f (x)$ 的图象的局部对称点，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a sin B = - \sqrt{3} b cos A$ ，角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = 1$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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