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相关试卷

1、设 $f (x) = - x^{3} + (a - 2) x^{2} + x$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则 $f (a) =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 5$ C、 $- 6$ D、 $- 7$

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2、 $\frac{\tan (150^{\circ}) (- \cos 420^{\circ})}{\sin (- 1050^{\circ})}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域为（）

A、 $\{x |x \geq \frac{1}{2}\}$ B、 $\{x |\frac{1}{2} \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x |x \geq 1\}$ D、 $\{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$

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4、已知圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ ，点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y + 1 =0$ 上一点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若直线 $l$ 上仅有一点 $P$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{3}$ ，则 $a$ 的值为.

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5、函数 $f (x) = ln x$ 图象上的点到直线 $y = x$ 的距离的最小值是（）

A、 $\frac{ln 2}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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6、如图，D为圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接 $B A$ 并延长至点W，使得 $|W A| = 1$ ，点W的轨迹记为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若过点 $K (- 2, 0)$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交曲线C于M，N两点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求证：直线MN过定点；

(3)、若曲线C交y轴正半轴于点S，直线 $x = x_{0}$ 与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得 $∠ O R P + ∠ O R Q = \frac{π}{2}$ ？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．

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7、为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是 $\frac{3}{5}$ .

(1)、求比赛结束时恰好打了6局的概率；

(2)、若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A, F (c, 0)$ 是双曲线 $C$ 的右焦点，点 $P$ 在直线 $x = 2 c$ 上，且 $tan ∠ A P F$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 + 2 \sqrt{7}$

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9、已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $A$ 为双曲线 $C$ 的左顶点， $P$ 为双曲线 $C$ 右支上的一点（非顶点）， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线 $P M$ 交 $x$ 轴于点 $M$ .

(1)、过右焦点 $F_{2}$ 作 $F_{2} N ⊥ P M$ 于点 $N$ ，求 $|O N|$ .

(2)、证明：点 $P$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线的距离之积为定值.

(3)、过点 $Q (\frac{1}{2}, 1)$ 作斜率为 $k$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于不同的两点 $G$ ， $H$ ，求斜率 $k$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = x + a e^{- x} + 1, (a \in R)$ .

(1)、若曲线y= $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线的斜率为0，求曲线y= $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形， $∠ C B B_{1} = 60^{\circ}$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为3．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若 $D$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，求平面 $C D B_{1}$ 与平面 $A B_{1} D$ 的夹角的正切值．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a sin B = b sin 2 A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b^{2} - a^{2} = \frac{1}{2} c^{2}$ ，求 $cos C$ .

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13、已知 $α$ 是第二象限角，且 $sin α + cos α = - \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ，则 $sin (α + \frac{π}{4}) =$ ， $cos (α - \frac{π}{12}) =$ .

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14、已知集合 $A = {x ∣ 1 < x < 2}$ ，集合 $B = {x ∣ x > m}$ ，若 $A \cap (∁_{R} B) = \emptyset$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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15、设 $f^{'} (x)$ 是三次函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为三次函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的拐点为 $(- \frac{b}{3}, f (- \frac{b}{3}))$ B、 $f (x)$ 有极值点，则 $b^{2} - 3 c > 0$ C、过 $f (x)$ 的拐点有三条切线 D、若 $b = - 3$ ， $c = 1$ ，则 $f (2 - x) + f (x) = - 2$

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16、已知曲线 $E$ ： $x^{2} + y^{2} - \sqrt{2} |x| - \sqrt{2} |y| = 0 (x^{2} + y^{2} \neq 0)$ ，则（）

A、曲线 $E$ 围成的图形的面积为 $2 + 4 π$ B、曲线 $E$ 的长度为 $4 π$ C、曲线 $E$ 上任意一点到原点的距离的最大值为 $\sqrt{2}$ D、曲线 $E$ 上任意两点间的最大距离为4

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17、一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为 $X$ ，则（）

A、 $X \sim B (4, \frac{1}{2})$ B、 $P (X = 3) = \frac{32}{81}$ C、 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、 $D (X) = \frac{7}{9}$

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18、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x + y) f (x - y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = - 1$ B、函数 $f (x)$ 为奇函数 C、函数 $f (x)$ 有2个零点 D、 $f (2 x) = f (x)$

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19、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若点 $E, F$ 分别满足 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，平面 $E B_{1} C_{1} F$ 将三棱柱分成体积为 $V_{1}, V_{2}$ 的两部分，则 $V_{1} : V_{2} =$ （）

A、 $19 : 8$ B、 $2 : 1$ C、 $17 : 10$ D、 $16 : 11$

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20、抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上的点到其准线的距离与到直线 $y = 2 x + 3$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$

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